Optimización de la longitud de un cable entre dos paredes

**a) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura $h$ por donde debe pasar el cable en el eje vertical $OZ$, viene dada por la expresión $L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}$.** El cable une el punto $A$ con el punto $B$ pasando por $C$. Por tanto, la longitud total $L(h)$ es la suma de las distancias entre los puntos: $L(h) = d(A, C) + d(C, B)$. Los puntos son $A(2, 0, 2)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(0, 0, h)$. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos en $\mathbb{R}^3$: 1. **Distancia $AC$:** $$d(A, C) = \sqrt{(0-2)^2 + (0-0)^2 + (h-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (h^2 - 4h + 4)}$$ $$d(A, C) = \sqrt{4 + h^2 - 4h + 4} = \sqrt{h^2 - 4h + 8}$$ 2. **Distancia $CB$:** $$d(C, B) = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2 + (1-h)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + (1 - 2h + h^2)}$$ $$d(C, B) = \sqrt{4 + 1 - 2h + h^2} = \sqrt{h^2 - 2h + 5}$$ Sumando ambas expresiones obtenemos la función buscada: $$L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. $$\boxed{L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}}$$

**b) Calcule las coordenadas del punto $C$ por donde debe pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable.** Para minimizar la función $L(h)$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero. Usamos la regla de la cadena para funciones del tipo $\sqrt{u}$: $$L'(h) = \frac{2h - 4}{2\sqrt{h^2 - 4h + 8}} + \frac{2h - 2}{2\sqrt{h^2 - 2h + 5}}$$ Simplificando los factores 2: $$L'(h) = \frac{h - 2}{\sqrt{h^2 - 4h + 8}} + \frac{h - 1}{\sqrt{h^2 - 2h + 5}}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $y = \sqrt{u(x)}$ es $y' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores críticos de $h$: $$\frac{h - 2}{\sqrt{h^2 - 4h + 8}} + \frac{h - 1}{\sqrt{h^2 - 2h + 5}} = 0 \implies \frac{h - 2}{\sqrt{h^2 - 4h + 8}} = -\frac{h - 1}{\sqrt{h^2 - 2h + 5}}$$ Para resolver, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$\frac{(h-2)^2}{h^2 - 4h + 8} = \frac{(h-1)^2}{h^2 - 2h + 5}$$ $$(h^2 - 4h + 4)(h^2 - 2h + 5) = (h^2 - 2h + 1)(h^2 - 4h + 8)$$ Desarrollamos ambos lados: - Lado izquierdo: $h^4 - 2h^3 + 5h^2 - 4h^3 + 8h^2 - 20h + 4h^2 - 8h + 20 = h^4 - 6h^3 + 17h^2 - 28h + 20$ - Lado derecho: $h^4 - 4h^3 + 8h^2 - 2h^3 + 8h^2 - 16h + h^2 - 4h + 8 = h^4 - 6h^3 + 17h^2 - 20h + 8$ Igualando: $$h^4 - 6h^3 + 17h^2 - 28h + 20 = h^4 - 6h^3 + 17h^2 - 20h + 8$$ $$-28h + 20 = -20h + 8 \implies 12 = 8h \implies h = \frac{12}{8} = 1.5$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprobemos en la ecuación original: si $h=1.5$, el primer término es negativo y el segundo positivo, por lo que su suma puede ser cero. Es correcto.

Analizamos el signo de $L'(h)$ alrededor de $h = 1.5$ para confirmar que se trata de un mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} h & (-\infty, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty)\\ \hline L'(h) & - & 0 & +\\ \hline L(h) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - Si $h < 1.5$, por ejemplo $h=1$: $L'(1) = \frac{-1}{\sqrt{5}} + 0 < 0$. - Si $h > 1.5$, por ejemplo $h=2$: $L'(2) = 0 + \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$. La función decrece antes de $1.5$ y crece después, por lo que en **$h = 1.5$ hay un mínimo relativo** (y absoluto, dado el contexto). $$\boxed{h = 1.5}$$

Ya conocemos la altura $h = 1.5$, por lo que las coordenadas del punto $C$ son: $$C(0, 0, 1.5)$$ Ahora calculamos la longitud mínima sustituyendo $h = 1.5$ en $L(h)$: $$L(1.5) = \sqrt{1.5^2 - 4(1.5) + 8} + \sqrt{1.5^2 - 2(1.5) + 5}$$ $$L(1.5) = \sqrt{2.25 - 6 + 8} + \sqrt{2.25 - 3 + 5}$$ $$L(1.5) = \sqrt{4.25} + \sqrt{4.25} = 2\sqrt{4.25}$$ Como $4.25 = \frac{17}{4}$: $$L(1.5) = 2\sqrt{\frac{17}{4}} = 2\frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17} \approx 4.12 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C = (0, 0, 1.5), \quad L_{\min} = \sqrt{17}}$$