Invertibilidad y Ecuaciones Matriciales

**a) Calcule los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible. [1,25 puntos]** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a+1 & a-1 \\ 2a+1 & 0 & -a-3 \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos de las diagonales principales y secundarias: - Diagonales principales: $a \cdot (a+1) \cdot (-a-3) = a(-a^2-4a-3) = -a^3-4a^2-3a$ $a \cdot (a-1) \cdot (2a+1) = a(2a^2+a-2a-1) = 2a^3-a^2-a$ $0 \cdot 2 \cdot 0 = 0$ - Diagonales secundarias: $(2a+1) \cdot (a+1) \cdot 0 = 0$ $0 \cdot (a-1) \cdot a = 0$ $(-a-3) \cdot 2 \cdot a = -2a^2-6a$ Sumamos y restamos los términos: $$|A| = (-a^3-4a^2-3a + 2a^3-a^2-a) - (-2a^2-6a)$$ $$|A| = a^3-5a^2-4a + 2a^2+6a = a^3-3a^2+2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser no nulo. El determinante se puede calcular por Sarrus o desarrollando por una fila o columna.

Para hallar cuándo la matriz no es invertible, igualamos el determinante a cero: $$a^3 - 3a^2 + 2a = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $a$: $$a(a^2 - 3a + 2) = 0$$ Las soluciones son $a = 0$ y las raíces de la ecuación de segundo grado $a^2 - 3a + 2 = 0$: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da los valores $a = 1$ y $a = 2$. Por lo tanto, la matriz $A$ es invertible para todos los valores reales de $a$ excepto para $0, 1$ y $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}}$$

**b) Para el caso $a = 3$, resuelva la ecuación $A \cdot X = B - 3I$, en la que $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. [1,25 puntos]** Primero, observamos que la matriz $B$ es proporcional a la identidad: $$B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 4I$$ Sustituimos esto en la ecuación matricial: $$A \cdot X = 4I - 3I \implies A \cdot X = I$$ Como para $a = 3$ el determinante es $|A| = 3^3 - 3(3^2) + 2(3) = 6 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot I \implies X = A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Multiplicar una matriz por la identidad $I$ no la modifica ($A \cdot I = A$). Para despejar la $X$ en $AX=C$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos lados.

Para $a = 3$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -6 \end{pmatrix}$. Calculamos su inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. Ya sabemos que $|A| = 6$. Calculamos los cofactores de $A$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = -24$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} = -(-12 - 14) = 26$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = -28$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = 18$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 7 & -6 \end{vmatrix} = -18$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = 21$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 6$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -6$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 6 = 6$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 26 & -28 \\ 18 & -18 & 21 \\ 6 & -6 & 6 \end{pmatrix}$. Transponemos y dividimos por el determinante: $$X = A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -24 & 18 & 6 \\ 26 & -18 & -6 \\ -28 & 21 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ 13/3 & -3 & -1 \\ -14/3 & 7/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ \frac{13}{3} & -3 & -1 \\ -\frac{14}{3} & \frac{7}{2} & 1 \end{pmatrix}}$$