Continuidad, derivabilidad y cálculo de una primitiva

**a) Considere la función $f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0, e) \\ ax + b, & \text{si } x \in [e, 4) \end{cases}$, donde $a$ y $b$ son números reales. Encuentre el valor de $a$ y de $b$ para que la función sea continua y derivable en el intervalo $(0, 4)$.** Para que la función sea continua en $(0, 4)$, el único punto problemático es el salto entre ramas en $x = e$. Para que sea continua en $x = e$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to e^-} f(x) = \lim_{x \to e^-} \ln(x) = \ln(e) = 1$. 2. $f(e) = a(e) + b = ae + b$. 3. $\lim_{x \to e^+} f(x) = \lim_{x \to e^+} (ax + b) = ae + b$. Para que sea continua, igualamos los resultados: $$ae + b = 1$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en ese punto son iguales.

Para que sea derivable en $x = e$, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{si } x \in (0, e) \\ a, & \text{si } x \in (e, 4) \end{cases}$$ Calculamos los límites de la derivada (derivadas laterales) en $x = e$: - Derivada por la izquierda: $f'(e^-) = \lim_{x \to e^-} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{e}$. - Derivada por la derecha: $f'(e^+) = \lim_{x \to e^+} a = a$. Para que sea derivable, las derivadas laterales deben ser iguales: $$a = \dfrac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea continua en dicho punto.

Sustituimos el valor de $a = \dfrac{1}{e}$ en la ecuación de continuidad obtenida en el paso 1: $$ae + b = 1 \implies \left(\dfrac{1}{e}\right)e + b = 1$$ $$1 + b = 1 \implies b = 0$$ Por tanto, los valores para que la función sea continua y derivable son: $$\boxed{a = \dfrac{1}{e}, \quad b = 0}$$

**b) Calcule la función $g(x)$ que satisface $g'(x) = \frac{x^3}{9x^4 + 1}$ y que pasa por el punto $(0, –1)$.** Para hallar $g(x)$, debemos calcular la integral indefinida de $g'(x)$: $$g(x) = \int \dfrac{x^3}{9x^4 + 1} dx$$ Observamos que la derivada del denominador $9x^4 + 1$ es $36x^3$. Podemos ajustar el numerador para obtener una integral de tipo logarítmico: $$g(x) = \dfrac{1}{36} \int \dfrac{36x^3}{9x^4 + 1} dx = \dfrac{1}{36} \ln|9x^4 + 1| + C$$ Como $9x^4 + 1$ es siempre positivo para cualquier $x$ real, podemos prescindir del valor absoluto: $$g(x) = \dfrac{1}{36} \ln(9x^4 + 1) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$. Aquí buscamos que el numerador sea la derivada del denominador.

El enunciado indica que la función pasa por el punto $(0, -1)$, lo que significa que $g(0) = -1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de $g(x)$: $$-1 = \dfrac{1}{36} \ln(9(0)^4 + 1) + C$$ $$-1 = \dfrac{1}{36} \ln(1) + C$$ Como $\ln(1) = 0$: $$-1 = 0 + C \implies C = -1$$ Finalmente, la función $g(x)$ es: $$\boxed{g(x) = \dfrac{1}{36} \ln(9x^4 + 1) - 1}$$