Rango de una matriz con parámetros y resolución de sistema homogéneo

**a) Calcule el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 5 \cdot 9) + (a \cdot 3a \cdot 7) + (3 \cdot 2a \cdot 4a) - (7 \cdot 5 \cdot 3) - (4a \cdot 3a \cdot 1) - (9 \cdot 2a \cdot a)$$ $$|A| = 45 + 21a^2 + 24a^2 - 105 - 12a^2 - 18a^2$$ Agrupamos los términos semejantes: $$|A| = (21 + 24 - 12 - 18)a^2 + (45 - 105)$$ $$|A| = 15a^2 - 60$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es distinto de cero, su rango es exactamente $n$.

Para estudiar el rango, buscamos los valores de $a$ que hacen que el determinante sea cero: $$15a^2 - 60 = 0 \implies 15a^2 = 60 \implies a^2 = 4$$ Calculamos la raíz cuadrada: $$a = \pm \sqrt{4} \implies a = 2, \quad a = -2$$ Estos son los valores donde el rango de la matriz será menor que 3.

Analizamos los casos posibles para el rango de $A$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: $a = 2$ o $a = -2$** Si $a = 2$ o $a = -2$, entonces $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Comprobamos si existe algún menor de orden 2 distinto de cero. Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas para $a = 2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \implies \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \neq 0$$ Tomamos el menor para $a = -2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & -6 \\ 7 & -8 & 9 \end{pmatrix} \implies \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \neq 0$$ En ambos casos, existe un menor de orden 2 no nulo, por lo que el rango es 2. ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq \pm 2, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } a = \pm 2, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Si $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, resuelva la siguiente ecuación matricial: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.** Observamos que la matriz de coeficientes coincide con la matriz $A$ cuando $a = 2$. Ya sabemos por el apartado anterior que su determinante es 0 y su rango es 2. Se trata de un **sistema de ecuaciones lineal homogéneo**. La matriz del sistema $M$ tiene $\text{rg}(M) = 2$. Como el número de incógnitas es $n = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\text{rg}(M) = 2 < n = 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones) con $3 - 2 = 1$ grado de libertad. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Si el determinante es cero, tiene infinitas soluciones.

Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación que sea combinación lineal de las otras (por ejemplo, la tercera) y resolver el sistema usando las dos primeras, tratando a una de las variables como un parámetro. El sistema es: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 4x + 5y + 6z = 0 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + 2y = -3\lambda \\ 4x + 5y = -6\lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por $-4$ para eliminar la $x$: $$\begin{cases} -4x - 8y = 12\lambda \\ 4x + 5y = -6\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$-3y = 6\lambda \implies y = -2\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + 2(-2\lambda) = -3\lambda \implies x - 4\lambda = -3\lambda \implies x = \lambda$$ ✅ **Resultado (Solución del sistema):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$