Estudio de función racional y recta tangente

**a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Utilizamos la fórmula general de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 1$ y $x_2 = -2$. 💡 **Tip:** El dominio condiciona tanto la existencia de asíntotas verticales como los intervalos de monotonía. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}}$$

Estudiamos los límites en los puntos de discontinuidad y en el infinito. **Asíntotas Verticales (AV):** Calculamos los límites laterales en $x = -2$ y $x = 1$: $$\lim_{x \to -2} \frac{9}{x^2 + x - 2} = \frac{9}{0} = \infty \implies \mathbf{x = -2}$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{9}{x^2 + x - 2} = \frac{9}{0} = \infty \implies \mathbf{x = 1}$$ Existen asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 1$. **Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{9}{x^2 + x - 2} = 0$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 0$** (el eje $X$). **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal cuando $x \to \infty$, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -2, x = 1; \quad \text{AH: } y = 0}$$

Para hallar el crecimiento y los extremos, calculamos $f'(x)$ usando la regla de la cadena o el cociente: $$f(x) = 9(x^2 + x - 2)^{-1}$$ $$f'(x) = 9 \cdot (-1) \cdot (x^2 + x - 2)^{-2} \cdot (2x + 1) = \frac{-9(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \iff -9(2x + 1) = 0 \iff 2x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el denominador de la derivada $(x^2+x-2)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ dependerá solo del numerador $-18x - 9$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico $x = -0,5$: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -0.5) & -0.5 & (-0.5, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ **Interpretación:** - La función es **creciente** en $(-\infty, -2) \cup (-2, -0.5)$. - La función es **decreciente** en $(-0.5, 1) \cup (1, +\infty)$. Hay un **máximo relativo** en $x = -0.5$. Calculamos su ordenada: $$f(-0.5) = \frac{9}{(-0.5)^2 + (-0.5) - 2} = \frac{9}{0.25 - 0.5 - 2} = \frac{9}{-2.25} = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-0.5, -4)}$$

**b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$.** Necesitamos el punto $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$: 1. Punto de tangencia: $$f(4) = \frac{9}{4^2 + 4 - 2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$ El punto es **$P(4, 0.5)$**. 2. Pendiente de la tangente: $$f'(4) = \frac{-9(2 \cdot 4 + 1)}{(4^2 + 4 - 2)^2} = \frac{-9(9)}{18^2} = \frac{-81}{324} = -\frac{1}{4}$$ La pendiente es **$m = -0.25$**. 3. Ecuación punto-pendiente: $$y - f(4) = f'(4)(x - 4) \implies y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 4)$$ $$y - 0.5 = -0.25x + 1 \implies y = -0.25x + 1.5$$ Para obtener la **ecuación general** ($Ax + By + C = 0$): $$0.25x + y - 1.5 = 0 \quad \xrightarrow{\cdot 4} \quad x + 4y - 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 4y - 6 = 0}$$

Representamos la función $f(x)$ con sus asíntotas y la recta tangente hallada. **Resumen gráfico:** - Ramas infinitas en $x=-2, x=1, y=0$. - Máximo en $(-0.5, -4)$. - Recta tangente $y = -0.25x + 1.5$ tocando la curva en $(4, 0.5)$.