Geometría en el espacio: Recta perpendicular y distancias

**a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el mástil.** Nos dicen que el mástil es perpendicular al plano del suelo $\pi: x - z = 6$. Por tanto, el vector director de la recta que contiene el mástil, llamémosla $r$, debe ser el mismo que el vector normal (o un múltiplo) del plano $\pi$. La ecuación general del plano es $x + 0y - z - 6 = 0$. Extraemos su vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 0, -1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano $Ax+By+Cz+D=0$, su dirección es el vector normal del plano $\vec{n}=(A,B,C)$.

Conocemos el vector director $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ y sabemos que la recta pasa por el punto de la cúpula $P = (30, 1, 0)$. La ecuación paramétrica de una recta que pasa por un punto $(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(v_1, v_2, v_3)$ es: $$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \\ z = z_0 + \lambda v_3 \\ \end{cases}$$ Sustituyendo nuestros valores: $$\begin{cases} x = 30 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \\ \end{cases}$$ ✅ **Resultado (ecuación paramétrica):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 30 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Calcule las coordenadas del punto de contacto del mástil con el suelo, y la longitud del mástil.** El punto de contacto $Q$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de $x$, $y$ y $z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi: x - z - 6 = 0$: $$(30 + \lambda) - (-\lambda) - 6 = 0$$ $$30 + \lambda + \lambda - 6 = 0$$ $$24 + 2\lambda = 0 \implies 2\lambda = -24 \implies \lambda = -12$$ Ahora calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo el valor de $\lambda = -12$ en la recta: $$x = 30 + (-12) = 18$$ $$y = 1$$ $$z = -(-12) = 12$$ El punto de contacto es $Q = (18, 1, 12)$. 💡 **Tip:** El punto de contacto es el punto del plano más cercano al punto $P$, también llamado proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$. ✅ **Resultado (punto de contacto):** $$\boxed{Q = (18, 1, 12)}$$

La longitud del mástil es la distancia entre el punto de la cúpula $P = (30, 1, 0)$ y el punto del suelo $Q = (18, 1, 12)$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (18 - 30, 1 - 1, 12 - 0) = (-12, 0, 12)$$ La longitud es el módulo de este vector: $$d(P, Q) = |\vec{PQ}| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 12^2}$$ $$d(P, Q) = \sqrt{144 + 0 + 144} = \sqrt{288}$$ Podemos simplificar la raíz: $$\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \approx 16.97 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (longitud):** $$\boxed{L = 12\sqrt{2} \approx 16.97 \text{ u}}$$