Análisis 2022 Cataluna
Método de bisección y Teorema de Bolzano
6. La columna de la izquierda de la siguiente tabla muestra el esquema de un programa informático que se ha elaborado para encontrar soluciones aproximadas de una ecuación $f(x) = 0$ en un intervalo $(a, b)$, sabiendo que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$. La columna de la derecha recoge un ejemplo de funcionamiento del programa donde puede verse cómo actuaría para encontrar una solución de la ecuación $x + \ln(x) = 0$ entre los valores $a = 0,5$ y $b = 2$.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Esquema del programa} & \text{Ejemplo} \\ \hline
\text{1. Escribir «Introduzca un valor } a\text{»} & \text{El usuario introduce } a = 0,5 \\ \hline
\text{2. Escribir «Introduzca un valor } b\text{»} & \text{El usuario introduce } b = 2 \\ \hline
\text{3. Escribir «Introduzca una función } f(x)\text{»} & \text{El usuario introduce } f(x) = x + \ln(x) \\ \hline
\text{4. Calcular } c = (a + b)/2 & \text{El programa calcula } c = (0,5 + 2)/2 = 1,25 \\ \hline
\text{5. Si } f(a) \cdot f(c) \lt 0, \text{ reasignar } b = c; & \text{Comprueba } f(0,5) \cdot f(1,25) \lt 0, \\
\text{en caso contrario, reasignar } a = c & \text{por lo tanto, reasigna } b = 1,25 \\ \hline
\text{6. Repetir pasos 4 y 5 hasta que} & \text{Iteraciones sucesivas de } a \text{ y } b: \\
|f(a) - f(b)| \lt 0,00000001 & \text{inicio: } 0,5 \text{ y } 2 \\
& \text{iteración 1: } 0,5 \text{ y } 1,25 \\
& \text{iteración 2: } 0,5 \text{ y } 0,875 \\
& \text{[...]} \\ \hline
\text{7. Finalizar y escribir la solución } c & \text{Solución: } 0,56714329 \\ \hline
\end{array}$$
a) Explique por qué este programa es capaz de encontrar una solución aproximada de la ecuación $x + \ln(x) = 0$ entre los valores $a = 0,5$ y $b = 2$. [1,25 puntos]
b) Se quiere aplicar este programa para encontrar las tres raíces de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ con valores de $a$ y $b$ diferentes. Encuentre justificadamente entre qué valores $a$ y $b$, para cada raíz, se debe aplicar el programa para encontrar aproximaciones de cada una de las tres raíces de la función. [1,25 puntos]
Paso 1
Fundamento teórico: El Teorema de Bolzano
**a) Explique por qué este programa es capaz de encontrar una solución aproximada de la ecuación $x + \ln(x) = 0$ entre los valores $a = 0,5$ y $b = 2$.**
El programa se basa en el **Teorema de Bolzano** y el método numérico de **bisección**.
El Teorema de Bolzano establece que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de la función en los extremos es distinto ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un valor $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.
En este caso:
1. La función $f(x) = x + \ln(x)$ es continua en su dominio $D = (0, +\infty)$, por lo que es continua en $[0,5, 2]$.
2. Comprobamos los valores en los extremos:
- $f(0,5) = 0,5 + \ln(0,5) \approx 0,5 - 0,693 = -0,193 \lt 0$
- $f(2) = 2 + \ln(2) \approx 2 + 0,693 = 2,693 \gt 0$
Como $f(0,5) \cdot f(2) \lt 0$, se cumplen las hipótesis del Teorema de Bolzano y se garantiza la existencia de una solución.
💡 **Tip:** El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada paso, manteniendo siempre que el producto de los valores de la función en los extremos sea negativo para asegurar que la raíz permanezca dentro del nuevo intervalo.
Paso 2
Convergencia del algoritmo
El algoritmo es capaz de encontrar la solución aproximada porque en cada iteración:
1. Calcula el punto medio $c$.
2. Selecciona el nuevo subintervalo ($[a, c]$ o $[c, b]$) donde la función cambia de signo.
3. Al repetir este proceso, la longitud del intervalo tiende a cero, encerrando el valor de la raíz con la precisión deseada.
En el ejemplo, tras varias iteraciones, el intervalo es tan pequeño que cualquier punto dentro de él (como el último $c$ calculado) es una excelente aproximación de la raíz real.
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\text{Se basa en el Teorema de Bolzano aplicado de forma iterativa (método de bisección).}}$$
Paso 3
Estudio de la función para el apartado b
**b) Se quiere aplicar este programa para encontrar las tres raíces de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ con valores de $a$ y $b$ diferentes. Encuentre justificadamente entre qué valores $a$ y $b$, para cada raíz, se debe aplicar el programa.**
Para aplicar el programa, necesitamos encontrar tres intervalos $[a, b]$ donde la función sea continua y cambie de signo.
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ es una función polinómica, por lo que es **continua en toda la recta real $\mathbb{R}$**.
Para localizar las raíces, podemos evaluar la función en puntos enteros cercanos al origen o estudiar sus extremos relativos para orientarnos:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$
Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 2$.
- $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$
- $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$
💡 **Tip:** Evaluar los máximos y mínimos nos ayuda a ver dónde la función cruza el eje $X$.
Paso 4
Localización de intervalos mediante evaluación
Evaluamos $f(x)$ en varios puntos para encontrar los cambios de signo:
- $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3 \quad (\lt 0)$
- $f(0) = 1 \quad (\gt 0)$ $\rightarrow$ **Cambio de signo entre $-1$ y $0$.**
- $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \quad (\lt 0)$ $\rightarrow$ **Cambio de signo entre $0$ y $1$.**
- $f(2) = -3 \quad (\lt 0)$
- $f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1 \quad (\gt 0)$ $\rightarrow$ **Cambio de signo entre $2$ y $3$.**
Como la función es continua, aplicamos el Teorema de Bolzano en cada intervalo.
💡 **Tip:** No es necesario que los intervalos sean de longitud 1, pero es lo más habitual para asegurar que solo haya una raíz en cada uno.
Paso 5
Conclusión de los intervalos para las tres raíces
Justificación de los intervalos encontrados:
1. En el intervalo **$[-1, 0]$**: $f(-1) = -3$ y $f(0) = 1$. Como $f(-1) \cdot f(0) \lt 0$, existe una raíz en $(-1, 0)$.
2. En el intervalo **$[0, 1]$**: $f(0) = 1$ y $f(1) = -1$. Como $f(0) \cdot f(1) \lt 0$, existe una raíz en $(0, 1)$.
3. En el intervalo **$[2, 3]$**: $f(2) = -3$ y $f(3) = 1$. Como $f(2) \cdot f(3) \lt 0$, existe una raíz en $(2, 3)$.
Como la función es de grado 3, tiene como máximo 3 raíces reales, por lo que ya las hemos localizado todas.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Intervalos: } [-1, 0], \; [0, 1] \text{ y } [2, 3]}$$