Puntos alineados y ecuación del plano

**a) Compruebe que tres de estos puntos están alineados. Determine cuáles son los tres puntos y calcule la ecuación continua y la ecuación paramétrica de la recta que definen.** Tres puntos $P, Q, R$ están alineados si los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ son proporcionales (tienen la misma dirección). Calculamos los vectores tomando el punto $A$ como origen: - $\vec{AB} = B - A = (1-0, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$ - $\vec{AC} = C - A = (-1-0, -1-0, 1-1) = (-1, -1, 0)$ - $\vec{AD} = D - A = (1-0, 0-0, 1-1) = (1, 0, 0)$ Observamos la relación entre $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = -1 \cdot \vec{AB} \implies (-1, -1, 0) = -1 \cdot (1, 1, 0)$$ Como los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son proporcionales, los puntos **$A, B$ y $C$ están alineados**. Por el contrario, $\vec{AD} = (1, 0, 0)$ no es proporcional a $\vec{AB}$, ya que no existe un escalar $k$ tal que $(1, 0, 0) = k(1, 1, 0)$ (la segunda componente obligaría a $k=0$, pero la primera daría $1=0$, lo cual es imposible). 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ son proporcionales si $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$.

Para definir la recta $r$ que pasa por $A, B$ y $C$, utilizamos el punto $A(0, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v_r} = \vec{AB} = (1, 1, 0)$. **Ecuación paramétrica:** Sumamos al punto el vector multiplicado por un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 0 + 1\lambda \\ z = 1 + 0\lambda \end{cases} \implies \boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}}$$ **Ecuación continua:** Igualamos las expresiones de $\lambda$ en cada coordenada. Como la componente $z$ tiene un vector director nulo, esa parte se indica por separado: $$\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{1}, \quad z = 1 \implies \boxed{x = y, \quad z = 1}$$ 💡 **Tip:** Cuando una componente del vector director es $0$, la variable correspondiente se mantiene constante en la ecuación continua (en este caso, $z=1$).

**b) Calcule la ecuación general o cartesiana del plano que determinan los cuatro puntos.** Como los puntos $A, B, C$ están en una misma recta, el plano queda determinado por esa recta y el punto $D$ que no pertenece a ella. Para hallar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto, por ejemplo $A(0, 0, 1)$, y dos vectores directores no proporcionales que pertenezcan al plano, como $\vec{u} = \vec{AB} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v} = \vec{AD} = (1, 0, 0)$. La ecuación general se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$(z - 1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (z - 1) \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (z - 1) \cdot (-1) = 0$$ Multiplicando por $-1$: $$z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Observa que en los cuatro puntos proporcionados ($A, B, C, D$), la coordenada $z$ siempre es $1$. Esto indica directamente que todos los puntos se encuentran en el plano horizontal de altura $1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{z - 1 = 0}$$