Optimización de un triángulo rectángulo: Área e hipotenusa

Para resolver ambos apartados, primero debemos establecer la relación entre los catetos del triángulo. Los vértices son $O(0,0)$, $A(x,0)$ y $B(0,y)$. Al estar $A$ en el eje $X$ y $B$ en el eje $Y$, el triángulo es rectángulo en el origen $O$, y sus catetos miden $x$ e $y$ respectivamente. El enunciado nos dice que la suma de los catetos es $10$: $$x + y = 10$$ De aquí despejamos $y$ en función de $x$: $$y = 10 - x$$ Como las longitudes deben ser positivas ($x > 0$ e $y > 0$), el dominio de nuestra variable es $0 \lt x \lt 10$. 💡 **Tip:** Identificar el dominio de la variable es crucial en problemas de optimización para asegurar que las soluciones encontradas tengan sentido geométrico.

**a) Exprese el área del triángulo $AOB$ en función de $x$. ¿Para qué valor de $x$ el área del triángulo $AOB$ es lo más grande posible? ¿Qué valor tiene esta área máxima?** El área de un triángulo rectángulo es el producto de sus catetos dividido por $2$: $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ Sustituimos $y = 10 - x$ para obtener el área en función de $x$: $$A(x) = \frac{x(10 - x)}{2} = \frac{10x - x^2}{2} = 5x - \frac{1}{2}x^2$$ Para encontrar el máximo, calculamos la derivada $A'(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 5 - x$$ $$5 - x = 0 \implies x = 5$$ ✅ **Función Área:** $$\boxed{A(x) = 5x - \frac{1}{2}x^2}$$

Comprobamos que $x=5$ es un máximo usando la segunda derivada: $$A''(x) = -1$$ Como $A''(5) = -1 \lt 0$, se confirma que en $x = 5$ hay un **máximo relativo**. Calculamos el valor del área máxima sustituyendo $x=5$ en $A(x)$: $$A(5) = 5(5) - \frac{1}{2}(5)^2 = 25 - \frac{25}{2} = \frac{50 - 25}{2} = 12,5$$ **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,5) & 5 & (5,10) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array} $$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{x = 5 \text{ unidades, } \text{Área Máxima} = 12,5 \text{ u}^2}$$

**b) Exprese la hipotenusa del triángulo $AOB$ en función de $x$. ¿Para qué valor de $x$ la hipotenusa del triángulo $AOB$ es lo más pequeña posible? ¿Cuál es ese valor mínimo?** Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa $h$ cumple $h^2 = x^2 + y^2$. Sustituimos $y = 10 - x$: $$h(x) = \sqrt{x^2 + (10 - x)^2}$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$h(x) = \sqrt{x^2 + 100 - 20x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 20x + 100}$$ 💡 **Tip:** Para minimizar una raíz cuadrada $\sqrt{f(x)}$, basta con minimizar lo que hay dentro de la raíz, $f(x)$, siempre que sea positivo, ya que la función raíz es monótona creciente. ✅ **Función Hipotenusa:** $$\boxed{h(x) = \sqrt{2x^2 - 20x + 100}}$$

Calculamos la derivada de $h(x)$: $$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - 20x + 100}} \cdot (4x - 20) = \frac{4x - 20}{2\sqrt{2x^2 - 20x + 100}} = \frac{2x - 10}{\sqrt{2x^2 - 20x + 100}}$$ Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $$2x - 10 = 0 \implies x = 5$$ Estudiamos el signo de $h'(x)$ alrededor de $x=5$: - Si $x \lt 5$, $h'(x) \lt 0$ (decreciente). - Si $x \gt 5$, $h'(x) \gt 0$ (creciente). Por tanto, en $x = 5$ hay un **mínimo**. Calculamos el valor mínimo de la hipotenusa: $$h(5) = \sqrt{2(5)^2 - 20(5) + 100} = \sqrt{50 - 100 + 100} = \sqrt{50}$$ Simplificando: $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{x = 5 \text{ unidades, } \text{Hipotenusa Mínima} = 5\sqrt{2} \text{ u}}$$