Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$.** Para discutir el sistema según el valor de $m$, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & m & 3-m \\ 2 & -1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & m & 3-m & -6 \\ 2 & -1 & m & 6 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & m & 3-m \\ 2 & -1 & m \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar haciendo la operación entre filas $F_3 \to F_3 - F_1$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & m & 3-m \\ 0 & 0 & m-3 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular superior, el determinante es el producto de la diagonal principal: $$|A| = 2 \cdot m \cdot (m-3)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2m(m-3) = 0 \implies m = 0, \quad m = 3$$ 💡 **Tip:** Aplicar propiedades de los determinantes (como hacer ceros en una columna) simplifica mucho el cálculo y evita errores con Sarrus.

Analizamos los casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 3$** En este caso $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada no puede superar 3 y hay 3 incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $m = 0$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \\ 2 & -1 & 0 & 6 \end{array}\right)$$ $\text{rang}(A) = 2$ ya que $|A|=0$ y existe un menor de orden 2 no nulo $\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$. Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -6 \\ -1 & 0 & 6 \end{vmatrix} = (-18+0+0) - (0+0+0) = -18 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) < \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $m = 3$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -6 \\ 2 & -1 & 3 & 6 \end{array}\right)$$ $\text{rang}(A) = 2$ ya que $F_1 = F_3$ y el menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$. Veamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & -6 \\ -1 & 3 & 6 \end{vmatrix} = (0+18+0) - (0+18+54) = 18 - 72 = -54 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) < \text{rang}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\} \text{ SCD; si } m=0 \text{ SI; si } m=3 \text{ SI}}$$

**b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando $m = 0$ y cuando $m = 3$. En cada caso, dé la posición relativa de los tres planos en $\mathbb{R}^3$.** **Para $m = 0$:** Como hemos visto en el apartado anterior, el sistema es **Incompatible**, por lo que **no tiene solución**. Analicemos la posición relativa de los planos: $\pi_1: 2x - y + 3z = 0$ $\pi_2: 3z = -6 \implies z = -2$ $\pi_3: 2x - y = 6$ Sus vectores normales son $\vec{n}_1(2, -1, 3)$, $\vec{n}_2(0, 0, 3)$ y $\vec{n}_3(2, -1, 0)$. No hay ningún par de vectores proporcionales, por lo que **no hay planos paralelos**. Dado que $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$ y no hay planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos formando un **prisma triangular**. ✅ **Resultado ($m=0$):** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible. Posición: Prismas (se cortan dos a dos en rectas paralelas)}}$$

**Para $m = 3$:** Como hemos visto en el apartado anterior, el sistema es **Incompatible**, por lo que **no tiene solución**. Analicemos la posición relativa de los planos: $\pi_1: 2x - y + 3z = 0$ $\pi_2: 3y = -6 \implies y = -2$ $\pi_3: 2x - y + 3z = 6$ Observamos que los coeficientes de $x, y, z$ en $\pi_1$ y $\pi_3$ son los mismos $(2, -1, 3)$. Por tanto, sus vectores normales son iguales, lo que indica que **$\pi_1$ y $\pi_3$ son paralelos**. Como sus términos independientes son distintos ($0 \neq 6$), son **planos paralelos distintos**. El segundo plano $\pi_2$, al tener un vector normal $\vec{n}_2(0, 3, 0)$ no proporcional a los otros, corta a ambos. ✅ **Resultado ($m=3$):** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible. Posición: } \pi_1 \parallel \pi_3 \text{ y } \pi_2 \text{ los corta a ambos}}$$