Tangente a la función cúbica y cálculo de áreas

**a) Calcule la ecuación de la recta $t$ tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = a$. Encuentre el punto de corte de la recta $t$ con el eje de abscisas (en función de $a$).** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, necesitamos el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Evaluamos la función en $x = a$: $$f(a) = a^3 \implies P(a, a^3)$$ 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Calculamos la derivada de $f(x) = x^3$: $$f'(x) = 3x^2$$ La pendiente es la derivada evaluada en el punto: $$m_t = f'(a) = 3a^2$$ 3. **Ecuación de la recta $t$:** Usamos la fórmula punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ $$y - a^3 = 3a^2(x - a)$$ $$y = 3a^2x - 3a^3 + a^3$$ $$y = 3a^2x - 2a^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ siempre viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x-a)$. ✅ **Resultado de la recta $t$:** $$\boxed{t: y = 3a^2x - 2a^3}$$

Para encontrar el punto de corte con el eje de abscisas (eje $X$), igualamos la ecuación de la recta a $y = 0$: $$0 = 3a^2x - 2a^3$$ Como el enunciado indica que $a$ es estrictamente positivo ($a > 0$), podemos dividir por $a^2$ sin problemas: $$3a^2x = 2a^3$$ $$x = \frac{2a^3}{3a^2}$$ $$x = \frac{2}{3}a$$ ✅ **Punto de corte:** $$\boxed{C\left(\frac{2}{3}a, 0\right)}$$

**b) Haga un esbozo de la gráfica de la función $f$ y la recta $t$. Calcule el valor de $a$ para que el área en el primer cuadrante limitada por la función $f$, la recta $t$ y el eje de abscisas sea $108 u^2$.** La función $f(x) = x^3$ es una curva creciente que pasa por el origen. La recta $t$ es tangente a la curva en el primer cuadrante ($x=a$) e interseca al eje $X$ en $x = \frac{2}{3}a$. El área solicitada es la región comprendida entre la curva $x^3$ (desde el origen), el eje $X$ y la recta tangente.

La región descrita se puede calcular de dos formas: 1. Como la integral de $f(x)$ desde $0$ hasta $a$, restándole el área del triángulo que forma la recta tangente con el eje $X$ y la vertical $x=a$. 2. Dividiendo el área en dos partes según el eje $X$: desde $0$ a $\frac{2}{3}a$ (bajo la curva) y de $\frac{2}{3}a$ a $a$ (entre la curva y la recta). Usaremos el método de **resta de áreas** por ser más directo: $$\text{Área} = \int_{0}^{a} x^3 \, dx - \text{Área del triángulo}$$ 1. **Integral de la función:** $$\int_{0}^{a} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4} - 0 = \frac{a^4}{4}$$ 2. **Área del triángulo:** El triángulo tiene base sobre el eje $X$ desde $x = \frac{2}{3}a$ hasta $x = a$. $$\text{Base} = a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a$$ La altura es el valor de la función en $x = a$: $$\text{Altura} = f(a) = a^3$$ $$\text{Área}_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{Base} \cdot \text{Altura} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot a^3 = \frac{a^4}{6}$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular el área del triángulo mediante la integral de la recta: $\int_{2/3a}^{a} (3a^2x - 2a^3) \, dx$.

Calculamos el área total en función de $a$: $$\text{Área} = \frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{6}$$ Buscamos el denominador común (12): $$\text{Área} = \frac{3a^4 - 2a^4}{12} = \frac{a^4}{12}$$ Igualamos al valor dado en el enunciado ($108 u^2$): $$\frac{a^4}{12} = 108$$ $$a^4 = 108 \cdot 12$$ $$a^4 = 1296$$ Para hallar $a$, calculamos la raíz cuarta: $$a = \sqrt[4]{1296}$$ Factorizamos $1296 = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$. Por lo tanto: $$a = 6$$ Como el enunciado dice que $a$ es estrictamente positivo, descartamos la solución negativa. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 6}$$