Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Compruebe que $C^3 = I_2$, donde $I_2$ es la matriz identidad de orden 2, y deduzca que la matriz $C$ es invertible y que $C^{-1} = C^2$. Calcule $C^{2022}$.** Primero calculamos $C^2$ multiplicando la matriz $C$ por sí misma: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C^2 = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + 1(-1) & (-1)(1) + 1(0) \\ (-1)(-1) + 0(-1) & (-1)(1) + 0(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $C^3$ multiplicando $C^2$ por $C$: $$C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C^3 = \begin{pmatrix} 0(-1) + (-1)(-1) & 0(1) + (-1)(0) \\ 1(-1) + (-1)(-1) & 1(1) + (-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. $$\boxed{C^3 = I_2}$$

Por definición, una matriz cuadrada $C$ es invertible si existe otra matriz $B$ tal que $C \cdot B = B \cdot C = I$. De la igualdad anterior tenemos que $C^3 = I_2$, que podemos escribir como: $$C \cdot (C^2) = I_2$$ Esto demuestra que la matriz $C$ es invertible (su determinante no puede ser cero ya que $\det(C)^3 = \det(I) = 1$) y que su matriz inversa es precisamente $C^2$. $$\boxed{C^{-1} = C^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular potencias elevadas, buscamos el resto de dividir el exponente entre el periodo del ciclo (en este caso, 3). Dividimos $2022$ entre $3$: $$2022 = 3 \cdot 674 + 0$$ El resto es $0$. Por tanto: $$C^{2022} = (C^3)^{674} = (I_2)^{674} = I_2$$ 💡 **Tip:** Siempre que una matriz cumpla $A^n = I$, entonces $A^k = A^r$ donde $r$ es el resto de la división $k/n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{C^{2022} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Resuelva la ecuación matricial $C \cdot X = A - 2I_2$.** Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $C^{-1}$ en ambos lados de la ecuación: $$C^{-1} \cdot (C \cdot X) = C^{-1} \cdot (A - 2I_2)$$ $$(C^{-1} \cdot C) \cdot X = C^{-1} \cdot (A - 2I_2)$$ $$I_2 \cdot X = C^{-1} \cdot (A - 2I_2)$$ $$X = C^{-1} \cdot (A - 2I_2)$$ Como en el apartado anterior hemos deducido que $C^{-1} = C^2$, la expresión queda: $$X = C^2 \cdot (A - 2I_2)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Primero calculamos el término del paréntesis $(A - 2I_2)$: $$A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$ multiplicando $C^2$ por el resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0(0) + (-1)(3) & 0(0) + (-1)(-3) \\ 1(0) + (-1)(3) & 1(0) + (-1)(-3) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}}$$