Distribución Normal: Ventas de periódicos

**a) La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos 1 pto** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de periódicos vendidos en un día. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(30, \sqrt{2})$$ Donde la media es $\mu = 30$ y la desviación típica es $\sigma = \sqrt{2} \approx 1.41$. Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Nos piden $P(28 \le X \le 31)$: $$P(28 \le X \le 31) = P\left(\frac{28 - 30}{\sqrt{2}} \le Z \le \frac{31 - 30}{\sqrt{2}}\right)$$ Calculamos los valores de $Z$ redondeando a dos decimales para usar las tablas: $$Z_1 = \frac{-2}{1.4142} \approx -1.41, \quad Z_2 = \frac{1}{1.4142} \approx 0.71$$ Ahora aplicamos las propiedades de la distribución normal: $$P(-1.41 \le Z \le 0.71) = P(Z \le 0.71) - P(Z \le -1.41)$$ $$P(Z \le -1.41) = 1 - P(Z \le 1.41)$$ $$P(-1.41 \le Z \le 0.71) = P(Z \le 0.71) - [1 - P(Z \le 1.41)]$$ Buscamos los valores en la tabla de la $N(0, 1)$: - $P(Z \le 0.71) = 0.7611$ - $P(Z \le 1.41) = 0.9207$ $$P = 0.7611 - (1 - 0.9207) = 0.7611 - 0.0793 = 0.6818$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un intervalo $[a, b]$, la probabilidad es $P(Z \le b) - P(Z \le a)$. Si el valor es negativo, usamos la simetría: $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(28 \le X \le 31) = 0.6818}$$

**b) Justifica si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0.1 0.75 ptos** Debemos calcular $P(X \gt 32)$. Tipificamos de nuevo: $$P(X \gt 32) = P\left(Z \gt \frac{32 - 30}{\sqrt{2}}\right) = P\left(Z \gt \frac{2}{1.4142}\right) = P(Z \gt 1.41)$$ Utilizamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1.41) = 1 - P(Z \le 1.41)$$ Buscamos en la tabla el valor para $Z = 1.41$, que ya conocemos del apartado anterior ($0.9207$): $$P(X \gt 32) = 1 - 0.9207 = 0.0793$$ Comparamos el resultado obtenido con el valor $0.1$: $$0.0793 \lt 0.1$$ 💡 **Tip:** En la normal, $P(X \gt a) = 1 - P(X \le a)$. Si el resultado es menor que el umbral solicitado, la afirmación es cierta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es cierto, ya que } 0.0793 \lt 0.1}$$

**c) El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80% de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifícalo 0.75 ptos** El dueño afirma que $P(X \gt 29) \gt 0.80$. Vamos a calcular la probabilidad real: $$P(X \gt 29) = P\left(Z \gt \frac{29 - 30}{\sqrt{2}}\right) = P\left(Z \gt \frac{-1}{1.4142}\right) = P(Z \gt -0.71)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -0.71) = P(Z \le 0.71)$$ Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar para $Z = 0.71$: $$P(Z \le 0.71) = 0.7611$$ Convertimos a porcentaje para comparar con la afirmación del dueño: $$0.7611 \cdot 100 = 76.11\%$$ Como $76.11\% \lt 80\%$, el dueño no está en lo cierto. 💡 **Tip:** No olvides que el área a la derecha de un valor negativo es igual al área a la izquierda del mismo valor en positivo: $P(Z \gt -z) = P(Z \le z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No está en lo cierto, la probabilidad es del } 76.11\%, \text{ que es menor al } 80\%}$$