Probabilidad y Estadística 2022 Canarias
Probabilidad total y Teorema de Bayes: bolas de colores y materiales
4A. Tenemos una caja con bolas de madera y de plástico de distintos colores, pero con el mismo tamaño y aspecto. Contamos con la siguiente información de su contenido:
- El 38% son bolas azules y, de este color, la mitad son de madera
- El 29% son bolas rojas y, de este color, las tres cuartas partes son de madera
- El 33% son bolas verdes y, de este color, dos tercios son de madera
Extraemos una bola de la caja. Responde a las siguientes preguntas:
a) Construye el árbol de probabilidades
0.5 ptos
b) Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera
1 pto
c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo?
1 pto
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol
**a) Construye el árbol de probabilidades**
Primero, definimos los sucesos principales según el color y el material de la bola:
- $A$: Sacar una bola azul.
- $R$: Sacar una bola roja.
- $V$: Sacar una bola verde.
- $M$: Sacar una bola de madera.
- $P$: Sacar una bola de plástico (suceso contrario a madera, $\bar{M}$).
A partir del enunciado, extraemos las probabilidades:
- Colores: $P(A) = 0.38$, $P(R) = 0.29$, $P(V) = 0.33$.
- Probabilidades condicionadas por material:
- Azules: $P(M|A) = 0.5$ y $P(P|A) = 0.5$.
- Rojas: $P(M|R) = 3/4 = 0.75$ y $P(P|R) = 0.25$.
- Verdes: $P(M|V) = 2/3$ y $P(P|V) = 1/3$.
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre $1$.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que la bola sea de madera
**b) Calcula la probabilidad de que, al sacar una bola al azar de la caja, esta sea de madera**
Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La bola puede ser de madera proviniendo de cualquiera de los tres colores (Azul, Rojo o Verde).
$$P(M) = P(A) \cdot P(M|A) + P(R) \cdot P(M|R) + P(V) \cdot P(M|V)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(M) = 0.38 \cdot 0.5 + 0.29 \cdot 0.75 + 0.33 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)$$
$$P(M) = 0.19 + 0.2175 + 0.22$$
$$P(M) = 0.6275$$
💡 **Tip:** Asegúrate de que las probabilidades parciales ($P(A \cap M)$, etc.) estén bien calculadas antes de sumarlas. El resultado final debe estar entre $0$ y $1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0.6275}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**c) Si la bola extraída de la caja es de plástico, ¿qué probabilidad hay de que sea de color rojo?**
Nos piden calcular la probabilidad de que sea roja sabiendo que es de plástico, es decir, $P(R|P)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(R|P) = \frac{P(R \cap P)}{P(P)}$$
Primero, calculamos $P(P)$, que es la probabilidad de que la bola sea de plástico (el suceso contrario a madera):
$$P(P) = 1 - P(M) = 1 - 0.6275 = 0.3725$$
Ahora, calculamos $P(R \cap P)$, que es la probabilidad de que sea roja y de plástico:
$$P(R \cap P) = P(R) \cdot P(P|R) = 0.29 \cdot 0.25 = 0.0725$$
Finalmente, calculamos el cociente:
$$P(R|P) = \frac{0.0725}{0.3725}$$
$$P(R|P) = \frac{725}{3725} = \frac{29}{149} \approx 0.1946$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición: pasamos de conocer $P(P|R)$ a calcular $P(R|P)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R|P) = \frac{29}{149} \approx 0.1946}$$