Geometría en el espacio: Intersección de rectas, perpendicularidad y ángulos

**a) Calcula la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que contiene el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$** Primero, obtenemos el punto de intersección $P = r_1 \cap r_2$. Expresamos $r_1$ en paramétricas: $$r_1 \equiv \begin{cases} x = -4 + 5\mu \\ y = -5 + 6\mu \\ z = 1 \end{cases}$$ Observamos que en $r_1$ la coordenada $z$ es constante: $z = 1$. Sustituimos este valor en las ecuaciones de $r_2$ para hallar $x$ e $y$: 1. De la segunda ecuación de $r_2$: $y + 4(1) = 5 \implies y = 1$. 2. De la primera ecuación de $r_2$: $4x + 3(1) = 7 \implies 4x = 4 \implies x = 1$. Comprobamos si este punto $(1, 1, 1)$ pertenece a $r_1$ buscando el valor de $\mu$: - $1 = -4 + 5\mu \implies 5 = 5\mu \implies \mu = 1$ - $1 = -5 + 6(1) \implies 1 = 1$ (Correcto) El punto de intersección es: $$\boxed{P(1, 1, 1)}$$ 💡 **Tip:** Si una recta tiene un denominador 0 en su ecuación continua, significa que esa componente es constante (el vector director tiene un 0 en esa posición).

La recta $s$ es perpendicular al plano $\pi$, por lo que el vector director de la recta $\vec{d}_s$ debe ser igual al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. El plano viene dado en paramétricas por los vectores $\vec{u} = (1, 0, -2)$ y $\vec{v} = (4, 1, -5)$. Calculamos su producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & -5 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(0 \cdot (-5) - (-2) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-5) - (-2) \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 4)$$ $$\vec{n}_\pi = 2\mathbf{i} - (-5 + 8)\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2, -3, 1)$$ Por tanto, el vector director de nuestra recta $s$ es: $$\boxed{\vec{d}_s = (2, -3, 1)}$$

Ya tenemos el punto $P(1, 1, 1)$ y el vector director $\vec{d}_s = (2, -3, 1)$. La ecuación continua de la recta $s$ es: $$s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 1}{1}$$ ✅ **Resultado (recta s):** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = z - 1}$$

**b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas $r_1$ y $r_2$ es menor de 45º? Justifícalo** Extraemos los vectores directores de ambas rectas: - Para $r_1$: $\vec{d}_1 = (5, 6, 0)$. - Para $r_2$: Podemos obtenerlo mediante el producto vectorial de los normales de sus planos: $$\vec{d}_2 = \vec{n}_{r2a} \times \vec{n}_{r2b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(16) + \mathbf{k}(4) = (12, -16, 4)$$ Simplificamos dividiendo por 4 para trabajar con números más sencillos: $$\vec{d}_2 = (3, -4, 1)$$ 💡 **Tip:** Para hallar el ángulo entre dos rectas, usamos el valor absoluto del producto escalar para asegurar que obtenemos el ángulo agudo.

Usamos la fórmula del coseno del ángulo $\alpha$ entre dos vectores: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{\|\vec{d}_1\| \cdot \|\vec{d}_2\|}$$ 1. Producto escalar: $$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = 5 \cdot 3 + 6 \cdot (-4) + 0 \cdot 1 = 15 - 24 + 0 = -9 \implies |\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2| = 9$$ 2. Módulos: $$\|\vec{d}_1\| = \sqrt{5^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$$ $$\|\vec{d}_2\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$$ 3. Cálculo del coseno: $$\cos \alpha = \frac{9}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{1586}} \approx 0.226$$

Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos(0.226) \approx 76.94^\circ$$ Como $76.94^\circ > 45^\circ$, la afirmación es falsa. También podemos comparar los cosenos: como el coseno es decreciente en el primer cuadrante, si $\alpha \lt 45^\circ$, entonces $\cos \alpha \gt \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Como $0.226 \lt 0.707$, se confirma que el ángulo es mayor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Falso, el ángulo es de aproximadamente } 76.94^\circ, \text{ que es mayor de 45º.}}$$