Posición relativa de rectas y cálculo de planos en el espacio

**a) Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. Al estar dada como intersección de dos planos, el vector director es el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$\vec{n}_{r1} = (3, -2, 0), \quad \vec{n}_{r2} = (0, 4, -3)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_{r1} \times \vec{n}_{r2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-2)(-3) - 0 \cdot 4]\vec{i} - [3(-3) - 0 \cdot 0]\vec{j} + [3 \cdot 4 - (-2) \cdot 0]\vec{k} = 6\vec{i} + 9\vec{j} + 12\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector director usando uno proporcional: $\vec{v}_r = (2, 3, 4)$. Para el punto $P_r$, fijamos $y=2$ en las ecuaciones de $r$: $3x - 2(2) = -1 \implies 3x = 3 \implies x=1$ $4(2) - 3z = -1 \implies 8 + 1 = 3z \implies z=3$ Luego, $P_r(1, 2, 3)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por la intersección de dos planos siempre es perpendicular a ambos vectores normales.

De forma análoga, para la recta $s$, sus planos tienen normales $\vec{n}_{s1} = (1, 4, 0)$ y $\vec{n}_{s2} = (0, 6, 1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_{s1} \times \vec{n}_{s2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s = [4 \cdot 1 - 0 \cdot 6]\vec{i} - [1 \cdot 1 - 0 \cdot 0]\vec{j} + [1 \cdot 6 - 4 \cdot 0]\vec{k} = 4\vec{i} - \vec{j} + 6\vec{k}$$ Así, $\vec{v}_s = (4, -1, 6)$. Para el punto $P_s$, fijamos $y=-3$: $x + 4(-3) + 12 = 0 \implies x - 12 + 12 = 0 \implies x=0$ $6(-3) + z + 13 = 0 \implies -18 + z + 13 = 0 \implies z=5$ Luego, $P_s(0, -3, 5)$.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (2, 3, 4)$ y $\vec{v}_s = (4, -1, 6)$. No son proporcionales ya que $\frac{2}{4} \neq \frac{3}{-1}$, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. Calculamos el vector que une ambos puntos: $\vec{P_r P_s} = (0-1, -3-2, 5-3) = (-1, -5, 2)$. Ahora estudiamos el determinante formado por los tres vectores: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 6 \\ -1 & -5 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$2[(-1)(2) - 6(-5)] - 3[4(2) - 6(-1)] + 4[4(-5) - (-1)(-1)]$$ $$= 2(-2 + 30) - 3(8 + 6) + 4(-20 - 1) = 2(28) - 3(14) + 4(-21)$$ $$= 56 - 42 - 84 = -70$$ Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ e } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) Calcula la ecuación del plano $\pi$ paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$. Halla el punto de corte de dicho plano $\pi$ con la recta: $t \equiv \frac{x+4}{-1} = \frac{y-8}{3} = z - 2$** El plano $\pi$ contiene a $r$ (luego contiene al punto $P_r(1, 2, 3)$ y al vector $\vec{v}_r$) y es paralelo a $s$ (luego su vector normal es perpendicular a $\vec{v}_s$). El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ será: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 6 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = (18+4)\vec{i} - (12-16)\vec{j} + (-2-12)\vec{k} = (22, 4, -14)$$ Podemos simplificar usando $\vec{n}_\pi = (11, 2, -7)$. La ecuación del plano es: $$11x + 2y - 7z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P_r(1, 2, 3)$: $$11(1) + 2(2) - 7(3) + D = 0 \implies 11 + 4 - 21 + D = 0 \implies -6 + D = 0 \implies D=6$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi \equiv 11x + 2y - 7z + 6 = 0}$$

Para hallar el punto de corte, expresamos la recta $t$ en paramétricas: $$t \equiv \begin{cases} x = -4 - \lambda \\ y = 8 + 3\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$11(-4 - \lambda) + 2(8 + 3\lambda) - 7(2 + \lambda) + 6 = 0$$ $$-44 - 11\lambda + 16 + 6\lambda - 14 - 7\lambda + 6 = 0$$ $$-12\lambda - 36 = 0 \implies 12\lambda = -36 \implies \lambda = -3$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto $Q$ sustituyendo $\lambda = -3$ en las paramétricas de $t$: $$x = -4 - (-3) = -1$$ $$y = 8 + 3(-3) = -1$$ $$z = 2 + (-3) = -1$$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{Q(-1, -1, -1)}$$