Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discute la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro $k$** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} k & -1 & -1 \\ 1 & k & 2k \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} k & -1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2k & k \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el sistema tiene solución única si el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas (3 en este caso).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $k$ el rango es máximo (rango 3). Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & -1 & -1 \\ 1 & k & 2k \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (k \cdot k \cdot 1) + (-1 \cdot 2k \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot 1) - [(-1 \cdot k \cdot 1) + (k \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot 2k)]$$ $$|A| = (k^2 - 2k - 1) - (-k + k - 2k) = k^2 - 2k - 1 - (-2k)$$ $$|A| = k^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$k^2 - 1 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = 1, \quad k = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ se anula si sus filas o columnas son linealmente dependientes. Los valores hallados serán los puntos de discusión.

Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$, entonces: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$, según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

Si $k = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando el término independiente: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1-1+1) - (1+1+1) = -1 - 3 = -4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = 1, \text{ el sistema es Incompatible.}}$$

Si $k = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Analizamos el rango de $A$. Un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$. Observamos la primera y tercera fila: $F_1: -x - y - z = 1$ $F_3: x + y + z = -1$ Si multiplicamos $F_1$ por $-1$, obtenemos $F_3$. Son filas proporcionales incluyendo el término independiente. Por tanto, no pueden formar un menor de orden 3 distinto de cero con el término independiente (el determinante será 0). $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = -1, \text{ el sistema es SCI.}}$$

**b) Resuelve el sistema para $k = 1$** *Nota: El enunciado pide resolver para $k=1$, pero según la discusión anterior, para $k=1$ el sistema es Incompatible (no tiene solución). Es probable que se trate de una errata en el enunciado original y se quisiera pedir otro valor, como $k=0$ o $k=2$, pero debemos responder en base a lo calculado.* Como se ha demostrado en el apartado anterior, si $k = 1$: - $\text{rg}(A) = 2$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ Dado que los rangos son distintos, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para } k = 1, \text{ el sistema no tiene solución (Sistema Incompatible).}}$$