Sistema de ecuaciones matriciales con matriz traspuesta

**2A. Averigua qué dos matrices de dimensiones $3 \times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones:** Traducimos el enunciado a un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las matrices $X$ e $Y$: 1) La suma es la identidad: $X + Y = I_3$ 2) La resta del doble de $X$ y el quíntuple de $Y$ es la traspuesta de $A$: $2X - 5Y = A^T$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones matriciales se resuelven de forma muy similar a los sistemas de ecuaciones lineales con números reales (usando métodos de sustitución, igualación o reducción), siempre que las operaciones de suma y producto por un escalar estén permitidas. $$\begin{cases} X + Y = I_3 \\ 2X - 5Y = A^T \end{cases}$$

Para operar, primero calculamos la matriz traspuesta de $A$, que consiste en intercambiar sus filas por sus columnas. Dada $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}$, su traspuesta es: $$A^T = \begin{pmatrix} 9 & 14 & 0 \\ 0 & -12 & -7 \\ -7 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a_{ij})^T = a_{ji}$. La primera fila de $A$ se convierte en la primera columna de $A^T$. $$\boxed{A^T = \begin{pmatrix} 9 & 14 & 0 \\ 0 & -12 & -7 \\ -7 & 0 & -5 \end{pmatrix}}$$

Para despejar $X$, podemos multiplicar la primera ecuación por $5$ y sumarla a la segunda para eliminar la $Y$: $$5(X + Y) = 5I_3 \implies 5X + 5Y = 5I_3$$ Ahora sumamos miembro a miembro: $$(5X + 5Y) + (2X - 5Y) = 5I_3 + A^T$$ $$7X = 5I_3 + A^T$$ Por tanto, podemos despejar $X$ como: $$X = \frac{1}{7} (5I_3 + A^T)$$ 💡 **Tip:** El producto de un número por una matriz se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número.

Calculamos primero la suma $5I_3 + A^T$: $$5I_3 + A^T = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 14 & 0 \\ 0 & -12 & -7 \\ -7 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$ $$5I_3 + A^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 14 & 0 \\ 0 & -12 & -7 \\ -7 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 14 & 0 \\ 0 & -7 & -7 \\ -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $\frac{1}{7}$: $$X = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 14 & 14 & 0 \\ 0 & -7 & -7 \\ -7 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la primera ecuación del sistema para despejar $Y$ de forma sencilla: $$X + Y = I_3 \implies Y = I_3 - X$$ Sustituimos las matrices: $$Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$Y = \begin{pmatrix} 1-2 & 0-2 & 0-0 \\ 0-0 & 1-(-1) & 0-(-1) \\ 0-(-1) & 0-0 & 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$