Cálculo de integrales indefinidas y definidas

**a) $\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} dx$ (1.25 ptos)** Para resolver esta integral, observamos que el denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales. Podemos descomponer la fracción en dos partes para obtener una integral de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente: $$\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} dx = \int \frac{x}{x^2 + 4} dx + \int \frac{4}{x^2 + 4} dx$$ 💡 **Tip:** Cuando tenemos un numerador de primer grado y un denominador de segundo grado irreducible ($ax^2+bx+c$), la estrategia suele ser separar el término con $x$ para formar el logaritmo (buscando la derivada del denominador) y el término constante para formar la arcotangente.

Para la primera integral, $\int \frac{x}{x^2 + 4} dx$, buscamos que el numerador sea la derivada del denominador. La derivada de $x^2 + 4$ es $2x$. Multiplicamos y dividimos por $2$: $$\int \frac{x}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 4} dx$$ Aplicando la fórmula $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$, obtenemos: $$\frac{1}{2} \ln(x^2 + 4)$$ Como $x^2+4$ siempre es positivo, no es estrictamente necesario el valor absoluto.

Para la segunda integral, $\int \frac{4}{x^2 + 4} dx$, queremos llevarla a la forma $\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2} dx = \arctan(f(x)) + C$. Primero, sacamos el factor $4$ del denominador: $$\int \frac{4}{x^2 + 4} dx = 4 \int \frac{1}{4\left(\frac{x^2}{4} + 1\right)} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 1} dx$$ Ahora, necesitamos en el numerador la derivada de $f(x) = \frac{x}{2}$, que es $f'(x) = \frac{1}{2}$. Multiplicamos y dividimos por $1/2$: $$2 \int \frac{1/2}{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 1} dx = 2 \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la forma directa $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$.

Sumamos ambos resultados obtenidos en los pasos anteriores y añadimos la constante de integración $C$: $$\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 4) + 2 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{2} \ln(x^2 + 4) + 2 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C}$$

**b) $\int_1^e \frac{(\ln x)^3}{x} dx$ (1.25 ptos)** Analizamos la estructura de la función a integrar. Observamos que podemos escribirla como el producto de una potencia y su derivada: $$\int \frac{(\ln x)^3}{x} dx = \int (\ln x)^3 \cdot \frac{1}{x} dx$$ Esta es una integral inmediata de tipo potencial, siguiendo la regla $\int [f(x)]^n \cdot f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. En este caso: - $f(x) = \ln x$ - $f'(x) = \frac{1}{x}$ - $n = 3$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = \frac{(\ln x)^4}{4}$$ 💡 **Tip:** Si no visualizas la integral inmediata, puedes usar el cambio de variable $t = \ln x$, lo que implica $dt = \frac{1}{x} dx$, convirtiendo la integral en $\int t^3 dt$.

Para resolver la integral definida entre $1$ y $e$, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_1^e \frac{(\ln x)^3}{x} dx = \left[ \frac{(\ln x)^4}{4} \right]_1^e$$ Calculamos los valores en los límites de integración: 1. Para el límite superior ($x = e$): $$F(e) = \frac{(\ln e)^4}{4} = \frac{1^4}{4} = \frac{1}{4}$$ 2. Para el límite inferior ($x = 1$): $$F(1) = \frac{(\ln 1)^4}{4} = \frac{0^4}{4} = 0$$ Restamos ambos valores: $$\frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{4}}$$