Continuidad, derivabilidad y recta tangente con parámetros

**a) Estudia los valores de los parámetros a y b para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Escribe la función resultante $f(x)$ [1.5 ptos]** Para que la función sea continua y derivable en $\mathbb{R}$, primero debemos asegurar que lo sea en cada una de sus ramas y luego en el punto de salto $x = 1$. - La primera rama $(x-1)^2 + bx$ es un polinomio, por lo que es continua y derivable en $(-\infty, 1)$. - La segunda rama $a + \ln(x)$ es una función logarítmica, que es continua y derivable para $x > 0$. Como esta rama se define para $x \ge 1$, no hay problemas de dominio. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} ((x-1)^2 + bx) = (1-1)^2 + b(1) = b$ 2. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = a + \ln(1) = a + 0 = a$ Para que sea continua: $$\boxed{b = a}$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si los límites laterales existen, son iguales y coinciden con el valor de la función en ese punto.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2(x - 1) + b & \text{si } x \lt 1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2(x-1) + b) = 2(0) + b = b$ 2. $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{1} = 1$ Igualando ambas expresiones: $$\boxed{b = 1}$$ Como del paso anterior teníamos que $a = b$, entonces: $$\boxed{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser obligatoriamente continua en dicho punto.

Sustituimos los valores obtenidos $a = 1$ y $b = 1$ en la expresión original de la función: $$\boxed{f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 + x & \text{si } x \lt 1 \\ 1 + \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}}$$

**b) Tomando los valores $a = -2$ y $b = 1$, calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = e$ [1 pto]** Con $a = -2$ y $b = 1$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 + x & \text{si } x \lt 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Como nos piden la recta tangente en $x = e$ y $e \approx 2.718 \gt 1$, utilizaremos la segunda rama de la función: $$f(x) = -2 + \ln(x)$$ 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la ordenada para $x = e$: $$y_0 = f(e) = -2 + \ln(e) = -2 + 1 = -1$$ El punto es $P(e, -1)$. 2. **Pendiente de la tangente:** Calculamos la derivada en $x = e$: $$f'(x) = \frac{1}{x} \implies m = f'(e) = \frac{1}{e}$$ 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - (-1) = \frac{1}{e}(x - e)$$ $$y + 1 = \frac{x}{e} - 1$$ $$y = \frac{1}{e}x - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente a $f$ en $x = x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{e}x - 2}$$