Distribución binomial: Probabilidad de errores en análisis

**a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? (1 pto)** Primero, definimos la variable aleatoria y sus parámetros. El experimento consiste en realizar una serie de análisis independientes donde cada uno tiene dos posibles resultados: ser erróneo (éxito en nuestro contexto de estudio) o no serlo. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de análisis erróneos en un total de $n$ pruebas. - La probabilidad de que un análisis sea erróneo es $p = \frac{8}{100} = 0,08$. - La probabilidad de que no sea erróneo es $q = 1 - p = 1 - 0,08 = 0,92$. - El número de ensayos es $n = 10$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(10, \, 0,08)$. 💡 **Tip:** Una distribución es binomial cuando realizamos $n$ experimentos independientes con una probabilidad de éxito constante $p$.

Para calcular la probabilidad de que exactamente 3 análisis sean erróneos, utilizamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos los valores $n=10$, $k=3$ y $p=0,08$: $$P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0,08^3 \cdot 0,92^{10-3}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ Ahora realizamos la operación completa: $$P(X=3) = 120 \cdot 0,08^3 \cdot 0,92^7$$ $$P(X=3) = 120 \cdot 0,000512 \cdot 0,5578466... \approx 0,03427$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=3) \approx 0,0343}$$

**b) Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: “En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos” (1 pto)** La afirmación dice que $P(X \gt 2) \lt 0,05$. Debemos calcular $P(X \gt 2)$. Es más sencillo calcular el suceso contrario: $$P(X \gt 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$ Calculamos cada término por separado: 1. $P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0,08^0 \cdot 0,92^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0,434388... \approx 0,4344$ 2. $P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0,08^1 \cdot 0,92^9 = 10 \cdot 0,08 \cdot 0,47216... \approx 0,3777$ 3. $P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0,08^2 \cdot 0,92^8 = 45 \cdot 0,0064 \cdot 0,51321... \approx 0,1478$ Sumamos estas probabilidades: $$P(X \le 2) = 0,4344 + 0,3777 + 0,1478 = 0,9599$$ Finalmente: $$P(X \gt 2) = 1 - 0,9599 = 0,0401$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso complementario $P(X \gt k) = 1 - P(X \le k)$ es fundamental para ahorrar cálculos en distribuciones discretas.

Hemos obtenido que la probabilidad de encontrar más de dos análisis erróneos es $0,0401$, lo que expresado en porcentaje es un **$4,01\%$**. Como $4,01\% \lt 5\%$, comparamos con la afirmación del enunciado: "hay menos de un 5% de posibilidades..." ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es CIERTA, ya que } 4,01\% \lt 5\%}$$

**c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? (0,5 ptos)** En este apartado cambiamos el enfoque. Ahora buscamos el número esperado de **análisis correctos** en $n=100$ pruebas. Definimos una nueva variable $Y$ como el número de análisis correctos. - Probabilidad de que un análisis sea correcto: $p_{correcto} = 0,92$. - Número de análisis: $n = 100$. - $Y \sim B(100, \, 0,92)$. El número esperado es la **esperanza matemática** de la distribución binomial, que se calcula como: $$E[Y] = n \cdot p_{correcto}$$ Sustituimos los valores: $$E[Y] = 100 \cdot 0,92 = 92$$ 💡 **Tip:** El "número esperado" o "valor esperado" en una binomial es simplemente la media de la distribución, $\mu = n \cdot p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{92 \text{ análisis correctos}}$$