Aproximación de la Binomial por la Normal

**a) En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de individuos con alergia en una muestra de $n=100$. Se trata de una distribución binomial $B(n, p)$ donde: - $n = 100$ - $p = 0.1$ (probabilidad de tener alergia) - $q = 1 - p = 0.9$ Como $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0.1 = 10 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0.9 = 90 \gt 5$ Se cumplen las condiciones, por lo que aproximamos $X$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 10$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{9} = 3$ Por tanto, $X \approx X' \sim N(10, 3)$. 💡 **Tip:** Para aproximar una Binomial $B(n,p)$ por una Normal $N(\mu, \sigma)$, deben cumplirse $np \gt 5$ y $nq \gt 5$. La media es $\mu = np$ y la desviación típica $\sigma = \sqrt{npq}$.

Queremos calcular $P(X \gt 12)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \gt 12) = P(X' \ge 12.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} = \frac{12.5 - 10}{3} = \frac{2.5}{3} \approx 0.83$$ Calculamos la probabilidad: $$P(X' \ge 12.5) = P(Z \ge 0.83) = 1 - P(Z \le 0.83)$$ Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$, $P(Z \le 0.83) = 0.7967$. $$1 - 0.7967 = 0.2033$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(X \gt 12) \approx 0.2033}$$

**b) Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo?** Ahora la muestra es $n = 400$. La variable $Y$ sigue una $B(400, 0.1)$. Comprobamos la aproximación: - $n \cdot p = 400 \cdot 0.1 = 40 \gt 5$ - $n \cdot q = 400 \cdot 0.9 = 360 \gt 5$ Parámetros de la normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 40$ - $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{36} = 6$ Buscamos $P(Y \lt 32)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(Y \lt 32) = P(Y' \le 31.5)$$ Tipificamos: $$Z = \frac{31.5 - 40}{6} = \frac{-8.5}{6} \approx -1.42$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \le -1.42) = P(Z \ge 1.42) = 1 - P(Z \le 1.42)$$ Consultando la tabla, $P(Z \le 1.42) = 0.9222$. $$1 - 0.9222 = 0.0778$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -a) = P(Z \ge a) = 1 - P(Z \le a)$. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(Y \lt 32) \approx 0.0778}$$

**c) En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo?** El número esperado es la esperanza matemática $E[X]$ de la distribución binomial. En este caso, nos preguntan por los individuos que **no** tienen alergia. Si la probabilidad de tener alergia es $p = 0.1$, la probabilidad de no tenerla es: $$q = 1 - 0.1 = 0.9$$ Para una muestra de $n = 500$, el número esperado es: $$E[X] = n \cdot q = 500 \cdot 0.9 = 450$$ O también, podemos calcular los que sí tienen alergia ($500 \cdot 0.1 = 50$) y restarlos del total: $500 - 50 = 450$. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{450 \text{ individuos}}$$