Intersección de recta y plano, recta perpendicular y ángulo

**a) Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dar la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que pasa por dicho punto $A$** Primero, necesitamos expresar la recta $r$ en una forma más manejable (paramétrica) para hallar el punto de corte $A$. La recta viene dada como intersección de dos planos: $$n_1 = (-3, 2, 0) \quad y \quad n_2 = (0, -4, 3)$$ El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, se obtiene mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = (2 \cdot 3 - 0 \cdot (-4))\vec{i} - ((-3) \cdot 3 - 0 \cdot 0)\vec{j} + ((-3) \cdot (-4) - 2 \cdot 0)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = 6\vec{i} + 9\vec{j} + 12\vec{k} = (6, 9, 12)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: **$\vec{v}_r = (2, 3, 4)$**. Ahora buscamos un punto $P_r$ de la recta asignando un valor a una variable. Si $y = 1$: $$-3x + 2(1) = 5 \implies -3x = 3 \implies x = -1$$ $$-4(1) + 3z + 7 = 0 \implies 3z = -3 \implies z = -1$$ El punto es $P_r(-1, 1, -1)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = -1 + 4\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para hallar el punto $A$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$: $$5(-1 + 2\lambda) - 6(1 + 3\lambda) + 7(-1 + 4\lambda) + 58 = 0$$ Desarrollamos la ecuación: $$-5 + 10\lambda - 6 - 18\lambda - 7 + 28\lambda + 58 = 0$$ $$(10 - 18 + 28)\lambda + (-5 - 6 - 7 + 58) = 0$$ $$20\lambda + 40 = 0 \implies 20\lambda = -40 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos $\lambda = -2$ en las ecuaciones de $r$ para obtener las coordenadas de $A$: $$x = -1 + 2(-2) = -5$$ $$y = 1 + 3(-2) = -5$$ $$z = -1 + 4(-2) = -9$$ El punto de intersección es **$A(-5, -5, -9)$**.

La recta $s$ debe ser perpendicular al plano $\pi$. Por tanto, el vector director de la recta $s$, $\vec{v}_s$, debe ser igual (o proporcional) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. De la ecuación $\pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$, extraemos: $$\vec{n}_\pi = (5, -6, 7) \implies \vec{v}_s = (5, -6, 7)$$ Como la recta pasa por el punto $A(-5, -5, -9)$, su ecuación en forma paramétrica es: $$s \equiv \begin{cases} x = -5 + 5\mu \\ y = -5 - 6\mu \\ z = -9 + 7\mu \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x+5}{5} = \frac{y+5}{-6} = \frac{z+9}{7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = -5 + 5\mu \\ y = -5 - 6\mu \\ z = -9 + 7\mu \end{cases}}$$

**b) Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$** El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante el seno del ángulo que forman el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Ya conocemos: $\vec{v}_r = (2, 3, 4)$ $\vec{n}_\pi = (5, -6, 7)$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 2(5) + 3(-6) + 4(7) = 10 - 18 + 28 = 20$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$$ $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{5^2 + (-6)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 36 + 49} = \sqrt{110}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\sin(\alpha) = \frac{20}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{110}} = \frac{20}{\sqrt{3190}}$$ El ángulo es: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{20}{\sqrt{3190}}\right) \approx \arcsin(0.354) \approx 20.73^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre dos planos o dos rectas se usa el coseno, pero para el ángulo entre recta y plano se usa el **seno**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{20}{\sqrt{3190}}\right) \approx 20.73^\circ}$$