Posición relativa de rectas y ecuación del plano en el espacio

**a) Dadas las rectas $r: \begin{cases} x + y + z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases}$, estudia la posición relativa entre $r$ y $s$** Primero, extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{n}_2 = (2, -1, 3)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(3 - (-1)) - \mathbf{j}(3 - 2) + \mathbf{k}(-1 - 2) = 4\mathbf{i} - \mathbf{j} - 3\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (4, -1, -3)$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 0$, y resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + z = -1 \\ 2x + 3z = 2 \end{cases} \implies x = -1 - z \implies 2(-1-z) + 3z = 2 \implies z = 4, \, x = -5$$ $$\boxed{P_r(-5, 0, 4), \quad \vec{v}_r(4, -1, -3)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en forma implícita siempre es perpendicular a los vectores normales de los planos que la forman.

La recta $s$ ya está en forma paramétrica, por lo que identificamos directamente su punto $P_s$ y su vector director $\vec{v}_s$: $$P_s(-1, 1, -1), \quad \vec{v}_s(2, 1, -3)$$ Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (4, -1, -3)$ y $\vec{v}_s = (2, 1, -3)$. Observamos que no son proporcionales: $$\frac{4}{2} \neq \frac{-1}{1}$$ Esto indica que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o bien se cortan en un punto, o bien se cruzan en el espacio. Definimos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (-1 - (-5), 1 - 0, -1 - 4) = (4, 1, -5)$$ 💡 **Tip:** Para saber si dos rectas son coplanarias (se cortan o son paralelas) el determinante formado por sus vectores directores y el vector unión de sus puntos debe ser cero.

Calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_rP_s}$ para verificar si son coplanarias: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}) = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & -3 & -5 \end{vmatrix}$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$D = [4 \cdot 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 1 \cdot (-3) + 4 \cdot (-1) \cdot (-3)] - [(-3) \cdot 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 1 \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) \cdot 2]$$ $$D = [-20 - 6 + 12] - [-12 - 12 + 10] = [-14] - [-14] = 0$$ Como el determinante es **cero**, los tres vectores son linealmente dependientes, lo que significa que las rectas son **coplanarias**. Dado que ya sabíamos que no eran paralelas, ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

**b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$** Sea $\alpha$ el plano buscado. Para determinar su ecuación necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. Como $r \subset \alpha$, el plano contiene al punto $P_r(-5, 0, 4)$ y al vector director $\vec{v}_r(4, -1, -3)$. 2. Como $\alpha \perp \pi$, el vector normal de $\alpha$ debe ser perpendicular al vector normal de $\pi$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$. Por tanto, el vector normal del plano $\alpha$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$: $$\vec{n}_\alpha = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\alpha = \mathbf{i}(-1 - 3) - \mathbf{j}(4 - (-6)) + \mathbf{k}(-4 - (-2)) = -4\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos: $\vec{n}_\alpha = (2, 5, 1)$. 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, su vector normal es perpendicular al vector director de dicha recta.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\alpha(2, 5, 1)$ y el punto $P_r(-5, 0, 4)$ para escribir la ecuación del plano: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$2(x + 5) + 5(y - 0) + 1(z - 4) = 0$$ $$2x + 10 + 5y + z - 4 = 0$$ $$2x + 5y + z + 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + 5y + z + 6 = 0}$$