Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro $k$ 1.5 ptos** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & k \\ k & 4 & 2 \\ k & 6 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 6 & k & 0 \\ k & 4 & 2 & 2 \\ k & 6 & 2 & k-2 \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 6 & k \\ k & 4 & 2 \\ k & 6 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4 \cdot 2) + (6 \cdot 2 \cdot k) + (k \cdot k \cdot 6) - [(k \cdot 4 \cdot k) + (2 \cdot 6 \cdot 2) + (k \cdot 6 \cdot 2)]$$ $$|A| = 16 + 12k + 6k^2 - (4k^2 + 24 + 12k)$$ $$|A| = 2k^2 - 8$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$2k^2 - 8 = 0 \implies 2k^2 = 8 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Si $k \neq 2$ y $k \neq -2$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango también debe ser 3. Por lo tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^\text{o} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\} \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $k = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 6 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 2 & 0 \end{array} \right)$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Esto simplifica el análisis de los rangos. Para el rango de $A$, buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 12 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ en toda la matriz ampliada, el rango de $A^*$ no puede ser 3 (la tercera fila no aporta información nueva), por lo que $\text{rg}(A^*) = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones que dependen de $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = 2 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Si $k = -2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 6 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 2 & 2 \\ -2 & 6 & 2 & -4 \end{array} \right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$ porque el determinante es cero y existe el menor: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 8 + 12 = 20 \neq 0$$ Estudiamos el rango de $A^*$ calculando un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{vmatrix} = 2(-16 - 12) - 6(8 + 4) + 0 = 2(-28) - 6(12) = -56 - 72 = -128 \neq 0$$ Como este menor de orden 3 es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$ ($2 \neq 3$), según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } k = -2 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Resuelve el sistema cuando el parámetro $k$ toma el valor $k = 0$ 1 pto** Sustituimos $k = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} 2x + 6y = 0 \quad (1) \\ 4y + 2z = 2 \quad (2) \\ 6y + 2z = -2 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (1) podemos despejar $x$ en función de $y$: $$2x = -6y \implies x = -3y$$ Ahora restamos la ecuación (2) a la ecuación (3) para eliminar la incógnita $z$: $$(6y + 2z) - (4y + 2z) = -2 - 2$$ $$2y = -4 \implies y = -2$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, si dos ecuaciones comparten las mismas incógnitas con coeficientes similares, el método de reducción suele ser el más rápido.

Una vez obtenido el valor de $y = -2$, sustituimos en las relaciones anteriores para hallar $x$ y $z$. Para $x$: $$x = -3y = -3(-2) = 6$$ Para $z$, usamos la ecuación (2): $$4(-2) + 2z = 2 \implies -8 + 2z = 2$$ $$2z = 10 \implies z = 5$$ Verificamos en la ecuación (3) por seguridad: $$6(-2) + 2(5) = -12 + 10 = -2$$ Se cumple correctamente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 6, \; y = -2, \; z = 5}$$