Rango de matrices con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, para $k \in \mathbb{R}$ sea $C$ la matriz dada por: $C = A^t + k \cdot B \cdot A$. Averigua para qué valores de $k$, la matriz $C$ tiene rango 2.** Primero, calculamos los elementos que componen la matriz $C$: 1. La matriz traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. El producto $B \cdot A$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot 1 + 1\cdot 0 & (-1)\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. La matriz $C = A^t + k(BA)$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-k & 0 \\ 1 & 1+k \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar matrices, estas deben ser de la misma dimensión y se suman elemento a elemento.

Para que una matriz de orden $2 \times 2$ tenga rango 2, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1-k & 0 \\ 1 & 1+k \end{vmatrix} = (1-k)(1+k) - (0)(1) = 1 - k^2$$ Buscamos los valores que anulan el determinante: $$1 - k^2 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$$ - Si $k = 1$ o $k = -1$, entonces $|C| = 0$ y el rango de $C$ será menor que 2 (será 1, ya que hay elementos distintos de cero). - Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, entonces $|C| \neq 0$ y el rango de $C$ es 2. 💡 **Tip:** El rango de una matriz representa el número de filas o columnas linealmente independientes. Si el determinante de una matriz cuadrada es no nulo, el rango coincide con su orden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

**b) Encuentra la matriz $X$, de dimensión $3 \times 3$, que verifica $M^t \cdot X = I - M$, donde $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$** Partimos de la ecuación $M^t \cdot X = I - M$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $M^t$ (si existe): $$X = (M^t)^{-1} \cdot (I - M)$$ Primero calculamos $I - M$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3: $$I - M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental (no existe la propiedad conmutativa en el producto de matrices). Para "quitar" $M^t$ de la izquierda, multiplicamos por su inversa por la izquierda.

Obtenemos $M^t$: $$M^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|M^t| = 0 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 0 - (0 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 0) = 0 - (-1) = 1$$ Como $|M^t| = 1 \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(M^t)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $$Adj(M^t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies (Adj(M^t))^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Como $|M^t| = 1$, entonces $(M^t)^{-1} = (Adj(M^t))^t$: $$(M^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = (M^t)^{-1} \cdot (I - M)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - $x_{11} = 1(1) + 1(-1) + 1(0) = 0$ - $x_{12} = 1(-1) + 1(2) + 1(-1) = 0$ - $x_{13} = 1(0) + 1(0) + 1(2) = 2$ - $x_{21} = 1(1) + 0(-1) + 0(0) = 1$ - $x_{22} = 1(-1) + 0(2) + 0(-1) = -1$ - $x_{23} = 1(0) + 0(0) + 0(2) = 0$ - $x_{31} = 0(1) + 0(-1) + (-1)(0) = 0$ - $x_{32} = 0(-1) + 0(2) + (-1)(-1) = 1$ - $x_{33} = 0(0) + 0(0) + (-1)(2) = -2$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}}$$