Área encerrada por una parábola y una recta

**a) Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores** Para representar el recinto y calcular el área, lo primero que debemos hacer es hallar los puntos donde las dos gráficas se cortan. Para ello, igualamos ambas funciones: $$3x - x^2 = x - 3$$ Reorganizamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $y = x - 3$: - Para $x = 3 \implies y = 3 - 3 = 0$. Punto: $(3, 0)$ - Para $x = -1 \implies y = -1 - 3 = -4$. Punto: $(-1, -4)$ 💡 **Tip:** Siempre es más fácil sustituir en la función lineal para hallar la coordenada $y$ de los puntos de corte. $$\boxed{x_1 = -1, \quad x_2 = 3}$$

Para realizar la representación, analizamos brevemente la parábola $f(x) = 3x - x^2$: - Es una parábola abierta hacia abajo ($a = -1 \lt 0$). - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2(-1)} = 1.5$. La ordenada es $y_v = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$. - **Cortes con el eje X:** $3x - x^2 = 0 \implies x(3 - x) = 0$, que son $x = 0$ y $x = 3$. La recta $g(x) = x - 3$ pasa por los puntos $(-1, -4)$ y $(3, 0)$ hallados anteriormente. El recinto es la región comprendida entre la parábola (que queda por encima) y la recta (que queda por debajo) en el intervalo $[-1, 3]$.

**b) Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores** El área del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte calculados: $$A = \int_{-1}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-1}^{3} [ (3x - x^2) - (x - 3) ] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Es fundamental identificar correctamente cuál es la función "techo" y cuál la función "suelo" para que el área resulte positiva. Si te equivocas, obtendrás el mismo valor pero negativo. $$\boxed{A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx}$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $3$ y $-1$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = -9 + 9 + 9 = 9$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right) + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(3) - F(-1) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ u}^2}$$