Parámetros de una función y cálculo de límites

**a) Considera la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Calcular los coeficientes $a, b, c, d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1, -1)$. Dar la expresión de la función $f(x)$** Primero, calculamos las derivadas de la función, ya que las necesitaremos para las condiciones de extremo relativo e inflexión: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ Identificamos las 4 condiciones a partir de los datos del enunciado: 1. El punto $P(0,1)$ pertenece a la gráfica: $f(0) = 1$. 2. Hay un extremo relativo en $P(0,1)$, por lo que la derivada en $x=0$ es cero: $f'(0) = 0$. 3. El punto $Q(1,-1)$ pertenece a la gráfica: $f(1) = -1$. 4. Hay un punto de inflexión en $Q(1,-1)$, por lo que la segunda derivada en $x=1$ es cero: $f''(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo o inflexión, aporta dos informaciones: que la función pasa por el punto $f(x_0)=y_0$ y la condición sobre su derivada correspondiente ($f'=0$ para extremos, $f''=0$ para inflexión).

Aplicamos las dos primeras condiciones para hallar directamente $c$ y $d$: Usando $f(0) = 1$: $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies \mathbf{d = 1}$$ Usando $f'(0) = 0$: $$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies \mathbf{c = 0}$$ Ya tenemos los dos primeros valores del polinomio: $$\boxed{c = 0, \quad d = 1}$$

Sustituimos $c=0$ y $d=1$ en las condiciones restantes para obtener un sistema de ecuaciones: Usando $f(1) = -1$: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 0(1) + 1 = -1 \implies a + b + 1 = -1 \implies a + b = -2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ Usando $f''(1) = 0$: $$f''(1) = 6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Resolvemos el sistema por el método de resta (Ecuación 2 - Ecuación 1): $$(3a + b) - (a + b) = 0 - (-2)$$ $$2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$$ Sustituimos $a=1$ en la Ecuación 1: $$1 + b = -2 \implies \mathbf{b = -3}$$ $$\boxed{a = 1, \quad b = -3}$$

Una vez hallados todos los coeficientes, sustituimos en la expresión general: $$a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 1$$ La función buscada es: $$\boxed{f(x) = x^3 - 3x^2 + 1}$$ Como paso opcional pero recomendable, se puede verificar que para $x=0$, $f(0)=1$ y $f'(0)=0$, y para $x=1$, $f(1)=-1$ y $f''(1)=6(1)-6=0$.

**b) Resuelve el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$** Primero evaluamos el límite directamente para comprobar si existe indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{e^0 + e^{-0} - 2}{1 - \cos 0} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar numerador y denominador por separado. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este último existe.

Derivamos el numerador: $(e^x + e^{-x} - 2)' = e^x - e^{-x}$ Derivamos el denominador: $(1 - \cos x)' = \sin x$ Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$$ Evaluamos de nuevo: $$\frac{e^0 - e^{-0}}{\sin 0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos el numerador: $(e^x - e^{-x})' = e^x + e^{-x}$ Derivamos el denominador: $(\sin x)' = \cos x$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}$$ Evaluamos: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2}$$