Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Distribuciones Binomial y Normal: Intolerancias alimentarias y peso del arroz
8. a) Se calcula que una quinta parte de los niños españoles presentan algún tipo de intolerancia alimentaria. En una cantina escolar los niños se sientan al azar en mesas de 4 comensales.
a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?
a.2) [0,75 puntos] Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, a esa mesa se le sirve el pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?
b) El peso de los paquetes de 1 kg arroz que comercializa determinada marca siguen una distribución normal de 985 g de media y 25 g de desviación típica.
b.1) [0,5 puntos] ¿Cuántos pesarán más de un kilo?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuánto pesará el más ligero del 70 % de los que más pesan?
| a | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10 | 0.5398 | 0.5438 | 0.5478 | 0.5517 | 0.5557 | 0.5596 | 0.5636 | 0.5675 | 0.5714 | 0.5753 |
| 0.20 | 0.5793 | 0.5832 | 0.5871 | 0.5910 | 0.5948 | 0.5987 | 0.6026 | 0.6064 | 0.6103 | 0.6141 |
| 0.30 | 0.6179 | 0.6217 | 0.6255 | 0.6293 | 0.6331 | 0.6368 | 0.6406 | 0.6443 | 0.6480 | 0.6517 |
| 0.40 | 0.6554 | 0.6591 | 0.6628 | 0.6664 | 0.6700 | 0.6736 | 0.6772 | 0.6808 | 0.6844 | 0.6879 |
| 0.50 | 0.6915 | 0.6950 | 0.6985 | 0.7019 | 0.7054 | 0.7088 | 0.7123 | 0.7157 | 0.7190 | 0.7224 |
| 0.60 | 0.7257 | 0.7291 | 0.7324 | 0.7357 | 0.7389 | 0.7422 | 0.7454 | 0.7486 | 0.7517 | 0.7549 |
Paso 1
Probabilidad de algún niño con intolerancia en una mesa
**a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de niños con intolerancia en una mesa de 4 comensales.
Sabemos que:
- La probabilidad de éxito (tener intolerancia) es $p = \frac{1}{5} = 0,2$.
- El número de ensayos (niños por mesa) es $n = 4$.
Por tanto, $X$ sigue una distribución Binomial: $X \sim B(4;\, 0,2)$.
Nos piden la probabilidad de que haya "algún" niño con intolerancia, es decir, $P(X \ge 1)$. Es más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$
Calculamos $P(X = 0)$ usando la fórmula de la Binomial $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$:
$$P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,4096 = 0,4096$$
Sustituyendo:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0,4096 = 0,5904$$
💡 **Tip:** Recuerda que para calcular $P(X \ge 1)$, el uso del complementario $1 - P(X=0)$ ahorra mucho tiempo en ejercicios de probabilidad.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 1) = 0,5904}$$
Paso 2
Probabilidad de servir pan sin gluten en alguna mesa
**a.2) [0,75 puntos] Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, a esa mesa se le sirve el pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?**
Definimos una nueva variable aleatoria $Y$ como el número de mesas (de entre 8) a las que se les sirve pan sin gluten.
En este caso:
- La probabilidad de éxito (servir pan sin gluten en una mesa) es la calculada en el apartado anterior: $p' = 0,5904$.
- El número de ensayos (mesas ocupadas) es $n' = 8$.
La variable sigue una distribución Binomial: $Y \sim B(8;\, 0,5904)$.
Nos piden la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en "alguna" mesa: $P(Y \ge 1)$. Aplicamos de nuevo el complementario:
$$P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0)$$
Calculamos $P(Y = 0)$:
$$P(Y = 0) = \binom{8}{0} \cdot 0,5904^0 \cdot (1 - 0,5904)^8 = 1 \cdot 1 \cdot (0,4096)^8$$
Operamos el valor aproximado:
$$0,4096^8 \approx 0,000788$$
$$P(Y \ge 1) = 1 - 0,000788 = 0,999212$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Y \ge 1) \approx 0,9992}$$
Paso 3
Probabilidad de que un paquete pese más de un kilo
**b.1) [0,5 puntos] ¿Cuántos pesarán más de un kilo?**
Definimos la variable $W$ como el peso de los paquetes en gramos. Según el enunciado: $W \sim N(985, 25)$.
Nos piden la probabilidad de que un paquete pese más de $1$ kg, es decir, $W \gt 1000$ g.
Primero, tipificamos la variable para usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{W - \mu}{\sigma}$:
$$P(W \gt 1000) = P\left(Z \gt \frac{1000 - 985}{25}\right) = P\left(Z \gt \frac{15}{25}\right) = P(Z \gt 0,6)$$
Como la tabla nos da valores de $P(Z \le z)$, usamos la propiedad del complementario:
$$P(Z \gt 0,6) = 1 - P(Z \le 0,6)$$
Buscamos en la tabla proporcionada el valor para $0,60$:
En la fila **0.60** y columna **0.00**, encontramos el valor **0.7257**.
$$P(W \gt 1000) = 1 - 0,7257 = 0,2743$$
💡 **Tip:** Aunque el enunciado pregunta "cuántos", al no darnos una población total de paquetes, la respuesta correcta es la probabilidad o el porcentaje ($27,43\%$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(W \gt 1000) = 0,2743}$$
Paso 4
Peso del más ligero del 70% de los que más pesan
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuánto pesará el más ligero del 70 % de los que más pesan?**
Buscamos un valor de peso $x$ tal que el $70\%$ de los paquetes pesen más que él. Esto se expresa como:
$$P(W \gt x) = 0,70$$
Esto equivale a decir que el $30\%$ restante pesa menos o igual que $x$:
$$P(W \le x) = 0,30$$
Tipificamos la variable:
$$P\left(Z \le \frac{x - 985}{25}\right) = 0,30$$
Llamamos $z_0 = \frac{x - 985}{25}$. Como la probabilidad $0,30$ es menor que $0,5$, sabemos que $z_0$ debe ser negativo. Por simetría:
$$P(Z \le z_0) = 0,30 \implies P(Z \ge -z_0) = 0,30 \implies 1 - P(Z \le -z_0) = 0,30$$
$$P(Z \le -z_0) = 0,70$$
Buscamos en la tabla el valor de probabilidad más cercano a $0,70$:
- Para $0,52 \to 0,6985$
- Para $0,53 \to 0,7019$
El valor más cercano es $0,52$ (está a una distancia de $0,0015$). Por tanto, $-z_0 = 0,52$, lo que implica $z_0 = -0,52$.
Deshacemos el cambio para hallar $x$:
$$-0,52 = \frac{x - 985}{25}$$
$$x = 985 + (-0,52 \cdot 25) = 985 - 13 = 972$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{972 \text{ gramos}}$$