Geometría en el espacio y Probabilidad Condicionada

**a) [1,25 puntos] Sean los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 1)$. Calcula el plano que pasa por el punto $A = (0, 0, 1)$ y con vector normal el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** El vector normal del plano, $\vec{n}$, se obtiene calculando el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$. Para ello, resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = (1 \cdot 1 \cdot \vec{i} + 1 \cdot 1 \cdot \vec{k} + 1 \cdot 0 \cdot \vec{j}) - (1 \cdot 1 \cdot \vec{k} + 0 \cdot 1 \cdot \vec{i} + 1 \cdot 1 \cdot \vec{j})$$ $$\vec{n} = (\vec{i} + \vec{k} + 0) - (\vec{k} + 0 + \vec{j}) = \vec{i} - \vec{j} \text{ (Error en cálculo manual, revisamos)}$$ Recalculando cuidadosamente: $$\vec{n} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$$ $$\vec{n} = \vec{i}(1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-1) = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos vectores simultáneamente. $$\boxed{\vec{n} = (1, 0, -1)}$$

Una vez tenemos el vector normal $\vec{n} = (A, B, C) = (1, 0, -1)$ y el punto $A = (0, 0, 1)$, la ecuación general del plano $\pi$ viene dada por: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituimos los valores: $$1(x - 0) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0$$ $$x - z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x - z + 1 = 0}$$

**b) El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90 % de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60 % cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80 %.** Primero definimos los sucesos: - $B$: Juega Benceno. - $\bar{B}$: No juega Benceno. - $G$: El equipo gana el partido. - $\bar{G}$: El equipo no gana (empata o pierde). Datos del enunciado: $P(B) = 0,80 \implies P(\bar{B}) = 0,20$ $P(G|B) = 0,90 \implies P(\bar{G}|B) = 0,10$ $P(G|\bar{B}) = 0,60 \implies P(\bar{G}|\bar{B}) = 0,40$ Representamos la situación en un árbol de probabilidades:

**a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso ganar ($G$) puede ocurrir si juega Benceno o si no juega: $$P(G) = P(B) \cdot P(G|B) + P(\bar{B}) \cdot P(G|\bar{B})$$ Sustituimos los valores del árbol: $$P(G) = 0,80 \cdot 0,90 + 0,20 \cdot 0,60$$ $$P(G) = 0,72 + 0,12 = 0,84$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso deseado. ✅ **Resultado del apartado a.1):** $$\boxed{P(G) = 0,84 \text{ (84 %)}}$$

**b.1) [0,75 puntos] Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?** Nos piden una probabilidad condicionada inversa: saber si ocurrió la causa ($B$) dado que conocemos el efecto ($G$). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|G) = \frac{P(B \cap G)}{P(G)} = \frac{P(B) \cdot P(G|B)}{P(G)}$$ Utilizamos el resultado del apartado anterior: $$P(B|G) = \frac{0,80 \cdot 0,90}{0,84}$$ $$P(B|G) = \frac{0,72}{0,84} = \frac{72}{84}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 12: $$P(B|G) = \frac{6}{7} \approx 0,8571$$ ✅ **Resultado del apartado b.1):** $$\boxed{P(B|G) = \frac{6}{7} \approx 0,8571 \text{ (85,71 %)}}$$