Rango de una matriz y posición relativa de planos con parámetros

**a) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, siendo $M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}$.** La matriz $M$ tiene dimensión $3 \times 4$, por lo que el rango máximo posible es $3$. Para estudiar el rango, analizaremos los determinantes de sus menores de orden $3$. Consideramos el menor formado por las tres primeras columnas: $$|M_{123}| = \begin{vmatrix} 2 & m & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & m \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|M_{123}| = m \cdot \begin{vmatrix} 2 & m \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = m(2 - 2m) = 2m(1-m)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2m(1-m) = 0 \implies m = 0, \quad m = 1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si encontramos un menor de orden $k$ distinto de cero, el rango es al menos $k$.

Analizamos qué ocurre con el rango de $M$ en los valores donde el determinante anterior se anula: **Caso $m = 0$:** La matriz es $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Como $|M_{123}| = 0$, probamos con otro menor de orden $3$, por ejemplo el formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4 + 0 + 2) - (4 + 0 + 0) = 2 \neq 0$$ Por tanto, para $m=0$, $\text{rg}(M) = 3$. **Caso $m = 1$:** La matriz es $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Observamos que la fila 1 ($F_1$) y la fila 2 ($F_2$) son idénticas. Esto implica que todos los menores de orden $3$ serán cero (ya que siempre contendrán dos filas iguales o una fila de ceros si combinamos transformaciones). El rango será $2$ porque existe un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0$$ ✅ **Resultado del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 1, & \text{rg}(M) = 3 \\ \text{Si } m = 1, & \text{rg}(M) = 2 \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Sean los planos $\pi_1 \equiv 2x + my = 1$, $\pi_2 \equiv 2x + y = m$ y $\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2$. Estudia su posición relativa según los valores de $m$.** El sistema de ecuaciones formado por los tres planos es: $$\begin{cases} 2x + my = 1 \\ 2x + y = m \\ 4x + y + mz = 2 \end{cases}$$ La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos que $A^*$ coincide exactamente con la matriz $M$ del apartado anterior. Además, el determinante de $A$ es el menor $|M_{123}|$ que calculamos antes: $$|A| = 2m(1-m)$$ Los valores críticos son $m=0$ y $m=1$. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es compatible determinado (un punto común).

**Caso $m \neq 0$ y $m \neq 1$:** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ tiene $3$ filas, su rango también debe ser $3$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado**. Los tres planos se cortan en un **único punto**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 1: \text{ Se cortan en un punto.}}$$

**Caso $m = 0$:** Calculamos los rangos: - $|A| = 2(0)(1-0) = 0$. Como el menor $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 2$. - Por el apartado (a), sabemos que si $m=0$, $\text{rg}(M) = \text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible** (no hay puntos comunes). Analizamos los vectores normales para ver si hay planos paralelos: $$\vec{n}_1 = (2, 0, 0), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, 0), \quad \vec{n}_3 = (4, 1, 0)$$ No hay ningún par de vectores proporcionales, por lo que no hay planos paralelos. Los planos se cortan dos a dos formando una figura prismática (superficie prismática). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0: \text{ No tienen puntos en común (forman un prisma).}}$$

**Caso $m = 1$:** Calculamos los rangos: - $|A| = 0$ y vimos que el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. - Por el apartado (a), si $m=1$, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitos puntos comunes, se cortan en una línea o más). Veamos las ecuaciones de los planos para $m=1$: $$\pi_1 \equiv 2x + y = 1$$ $$\pi_2 \equiv 2x + y = 1$$ $$\pi_3 \equiv 4x + y + z = 2$$ Observamos que $\pi_1$ y $\pi_2$ son el mismo plano (**planos coincidentes**). El plano $\pi_3$ no es proporcional a los anteriores, por lo que corta a los planos coincidentes en una **recta**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1: \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ coinciden y } \pi_3 \text{ los corta en una recta.}}$$