Intersección de planos y Teorema del valor medio del cálculo integral

**a) [1 punto] Expresa razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos $\pi_1 \equiv x = y + 1$ y $\pi_2 \equiv y + 2z = 5$.** Para hallar la recta intersección $r$ de dos planos, debemos resolver el sistema formado por sus ecuaciones. El sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que dependerá de un parámetro. $$\begin{cases} x - y = 1 \\ y + 2z = 5 \end{cases}$$ Podemos elegir una de las variables como parámetro. En este caso, resulta sencillo tomar $y = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la primera ecuación: $x = y + 1 \implies x = 1 + \lambda$. 2. De la segunda ecuación: $2z = 5 - y \implies z = \frac{5 - \lambda}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\lambda$. 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas no son únicas; dependen del parámetro elegido. Siempre deben incluir la condición $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) [1,5 puntos] Enuncia el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentra razonadamente el punto al que hace alusión dicho teorema para la función $f(x) = 3/x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. Interpreta geométricamente lo hallado.** **Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral:** Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a)$$ El valor $f(c)$ se denomina valor medio de la función en el intervalo $[a, b]$. 💡 **Tip:** Este teorema garantiza la existencia del punto, pero no dice cómo encontrarlo; para ello debemos calcular la integral y despejar $f(c)$.

Para encontrar el punto $c$ en el intervalo $[1, 3]$ para la función $f(x) = \frac{3}{x^2}$, primero calculamos la integral definida de la función en dicho intervalo. La función $f(x) = 3x^{-2}$ es continua en $[1, 3]$ ya que su única discontinuidad está en $x=0$. Aplicamos la regla de Barrow: $$\int_{1}^{3} \frac{3}{x^2} \, dx = 3 \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx = 3 \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{3} = 3 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3}$$ Sustituimos los límites de integración: $$3 \left( \left( -\frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) \right) = 3 \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = 3 \left( \frac{2}{3} \right) = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Según el teorema, debe existir un $c \in (1, 3)$ tal que: $$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = f(c) \cdot (3 - 1)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$2 = f(c) \cdot 2 \implies f(c) = 1$$ Como $f(x) = \frac{3}{x^2}$, planteamos la ecuación: $$\frac{3}{c^2} = 1 \implies c^2 = 3 \implies c = \pm \sqrt{3}$$ Dado que el intervalo de estudio es $[1, 3]$, el único valor válido es $c = \sqrt{3}$, ya que $\sqrt{3} \approx 1.732$, que pertenece al intervalo $(1, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = \sqrt{3}}$$

La interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral establece que, para una función positiva, el **área encerrada bajo la curva** $f(x)$ entre $x=1$ y $x=3$ es igual al **área de un rectángulo** que tiene como base la longitud del intervalo $(3 - 1 = 2)$ y como altura el valor de la función en el punto $c$, es decir, $f(c) = 1$. En este caso, el área bajo $f(x) = 3/x^2$ en $[1, 3]$ es $2$ unidades cuadradas, que coincide exactamente con el área del rectángulo de base $2$ y altura $1$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 3/x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le 3\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "rect", "latex": "0 \\le y \\le 1 \\{1 \\le x \\le 3\\}", "color": "#fbbf24", "fillOpacity": 0.3 }, { "id": "c_point", "latex": "(1.732, 1)", "color": "#ef4444", "label": "c=sqrt(3)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4.5, "bottom": -0.5, "top": 3.5 } } }