Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**a) [1,5 puntos] Estudia su posición relativa en función de los valores que toma $a$.** En primer lugar, extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones paramétricas: Para la recta $r$: - Punto $P_r = (0, 0, a)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, -1, 0)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (-1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (0, 1, -5)$ Calculamos también el vector que une ambos puntos, $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - a) = (-1, 0, -a)$$ 💡 **Tip:** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, comparamos sus vectores directores y analizamos el determinante formado por sus vectores directores y el vector que une un punto de cada una.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comparando sus componentes: $$\frac{2}{0} \neq \frac{-1}{1} \neq \frac{0}{-5}$$ Como las componentes no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Esto significa que las rectas solo pueden ser o bien **secantes** (se cortan en un punto) o bien **se cruzan** en el espacio. Para distinguir entre ambos casos, estudiaremos el determinante de la matriz formada por $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$.

Calculamos el determinante $|M| = [\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -5 \\ -1 & 0 & -a \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$|M| = [2 \cdot 1 \cdot (-a) + (-1) \cdot (-5) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot 0] - [(-1) \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \cdot (-a) + 2 \cdot (-5) \cdot 0]$$ $$|M| = -2a - 5$$ Analizamos cuándo el determinante es cero: $$-2a - 5 = 0 \implies -2a = 5 \implies a = -\frac{5}{2}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan. Si es distinto de cero, las rectas se cruzan.

Basándonos en el valor del determinante, concluimos: 1. Si **$a = -\frac{5}{2}$**, el determinante es cero. Como los vectores directores no son paralelos, las rectas **se cortan en un punto (son secantes)**. 2. Si **$a \neq -\frac{5}{2}$**, el determinante es distinto de cero. Los tres vectores son linealmente independientes, por lo que las rectas **se cruzan** en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a = -2,5 & \text{las rectas se cortan} \\ \text{Si } a \neq -2,5 & \text{las rectas se cruzan} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Encuentra razonadamente un plano que contenga a $s$ y que sea paralelo a $r$.** Si el plano $\pi$ contiene a la recta $s$, debe pasar por el punto $P_s$ y tener como uno de sus vectores directores a $\vec{v}_s$. Si además el plano $\pi$ es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser también un vector director del plano (o estar contenido en él). Por tanto, los elementos que definen el plano $\pi$ son: - Punto: $P_s = (-1, 0, 0)$ - Vectores directores: $\vec{v}_s = (0, 1, -5)$ y $\vec{v}_r = (2, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores linealmente independientes.

La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - 0 & z - 0 \\ 0 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x + 1) \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: $$(x + 1)(0 - 5) - y(0 - (-10)) + z(0 - 2) = 0$$ $$-5(x + 1) - 10y - 2z = 0$$ $$-5x - 5 - 10y - 2z = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar la expresión: $$5x + 10y + 2z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 5x + 10y + 2z + 5 = 0}$$