Cálculo de parámetros para áreas e integración por cambio de variable

**a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar $a \in \mathbb{R}$ para que la curva $f(x) = a - x^2$ corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?** Para que la curva corte al eje OX, debemos igualar la función a cero: $$f(x) = 0 \implies a - x^2 = 0 \implies x^2 = a.$$ Analizamos las soluciones según el valor de $a$: - Si $a \lt 0$, no existe solución real (no corta al eje). - Si $a = 0$, la solución es única ($x = 0$), por lo que no delimita un recinto cerrado de área no nula. - Si $a \gt 0$, existen dos soluciones reales y distintas: $$x = \pm \sqrt{a}.$$ En este caso, la parábola tiene sus ramas hacia abajo (ya que el coeficiente de $x^2$ es $-1$) y corta al eje en dos puntos, encerrando un área entre $x = -\sqrt{a}$ y $x = \sqrt{a}$. 💡 **Tip:** Una parábola $y = ax^2 + bx + c$ delimita un recinto con el eje OX si y solo si tiene dos raíces reales distintas, lo que ocurre cuando el discriminante es positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \gt 0}$$

**a.2) [1 punto] Encuentra razonadamente $a \in \mathbb{R}$ para que el área de dicho recinto valga 36.** El área del recinto encerrado por la curva $f(x) = a - x^2$ y el eje OX viene dada por la integral definida entre los puntos de corte: $$A = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx.$$ Dado que la función es par ($f(x) = f(-x)$), podemos simplificar el cálculo aprovechando la simetría respecto al eje OY: $$A = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$A = 2 \left[ ax - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{a}}.$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = 2 \left( (a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3}) - (0 - 0) \right) = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{a}^3 = a\sqrt{a}$ o, expresado en potencia, $a^{3/2}$. $$\boxed{A = \frac{4a\sqrt{a}}{3}}$$

Igualamos el valor del área obtenido al valor solicitado en el enunciado ($A = 36$): $$\frac{4a\sqrt{a}}{3} = 36.$$ Multiplicamos por 3 y dividimos por 4: $$a\sqrt{a} = \frac{36 \cdot 3}{4} \implies a\sqrt{a} = 27.$$ Para despejar $a$, podemos elevar ambos miembros al cuadrado o reconocer potencias. Si elevamos al cuadrado: $$(a\sqrt{a})^2 = 27^2 \implies a^3 = 729.$$ Calculamos la raíz cúbica: $$a = \sqrt[3]{729} = 9.$$ También podíamos observar que $a\sqrt{a} = a^{3/2}$ y $27 = 3^3$, por tanto: $$(a^{1/2})^3 = 3^3 \implies a^{1/2} = 3 \implies a = 9.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 9}$$ Para visualizar el recinto con $a=9$:

**b) [1 punto] Resuelve la siguiente integral:** $$\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}} dx.$$ Siguiendo la sugerencia, aplicamos el cambio de variable $t = 1 + 3x^2$. Calculamos el diferencial derivando ambos lados: $$dt = 6x \, dx \implies dx = \frac{dt}{6x}.$$ Sustituimos en la integral: $$I = \int \frac{2x}{\sqrt{t}} \frac{dt}{6x} = \int \frac{2}{6\sqrt{t}} \, dt = \int \frac{1}{3\sqrt{t}} \, dt.$$ Expresamos la raíz como potencia negativa para integrar fácilmente: $$I = \frac{1}{3} \int t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) + C = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{t} + C = \frac{2}{3}\sqrt{t} + C.$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t$ por su valor original: $$I = \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3x^2} + C.$$ 💡 **Tip:** Al finalizar una integral indefinida, siempre puedes derivar el resultado para comprobar que obtienes la función original (el integrando). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{2\sqrt{1+3x^2}}{3} + C}$$