Sistemas de ecuaciones con restricciones y cálculo de límites

**a) [1,5 puntos] Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?** En primer lugar, definimos las variables para cada artículo. Trabajaremos en céntimos de euro para evitar decimales ($5 \text{ €} = 500 \text{ céntimos}$): - $x$: precio de un lápiz. - $y$: precio de un cuaderno. - $z$: precio de una agenda. Según el enunciado, planteamos las ecuaciones: 1) $3x + y + z = 500$ 2) $2y + z = 500$ Como tenemos 3 incógnitas y solo 2 ecuaciones, el sistema es **compatible indeterminado**, lo que significa que tiene infinitas soluciones en el campo de los números reales. Sin embargo, tenemos restricciones adicionales: los precios deben ser múltiplos de 50 y mayores que cero. 💡 **Tip:** Cuando el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas, solemos necesitar condiciones adicionales (como ser números enteros o múltiplos de algo) para hallar una solución única.

Resolvemos el sistema expresando todas las variables en función de $x$: De la segunda ecuación: $z = 500 - 2y$. Sustituimos $z$ en la primera ecuación: $$3x + y + (500 - 2y) = 500$$ $$3x - y + 500 = 500 \implies 3x - y = 0 \implies y = 3x.$$ Ahora sustituimos $y = 3x$ en la expresión de $z$: $$z = 500 - 2(3x) = 500 - 6x.$$ Las condiciones del problema son: - $x, y, z$ deben ser múltiplos de 50. - $x > 0, y > 0, z > 0$ (ninguno es gratis). Si $x$ es múltiplo de 50, entonces $y = 3x$ también lo será. Para que $z > 0$: $$500 - 6x > 0 \implies 500 > 6x \implies x < \frac{500}{6} \approx 83,33.$$ El único múltiplo de 50 que cumple $0 < x < 83,33$ es **$x = 50$**. Calculamos el resto de precios: - $x = 50$ céntimos (lápiz). - $y = 3(50) = 150$ céntimos (cuaderno). - $z = 500 - 6(50) = 500 - 300 = 200$ céntimos (agenda). Comprobamos que todos son múltiplos de 50 y suman lo correcto. Por tanto, **sí podemos saber el precio**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Lápiz: } 0,50 \text{ €}, \text{ Cuaderno: } 1,50 \text{ €}, \text{ Agenda: } 2,00 \text{ €}}$$

**b) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite:** $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 1}{x} \right)^{\frac{x^2+1}{x}}.$$ Analizamos el comportamiento de la base y el exponente por separado cuando $x \to +\infty$: - Base: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$. - Exponente: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x} = +\infty$ (ya que el grado del numerador es mayor). Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ se resuelven habitualmente usando la relación con el número $e$: $\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x)-1]}$.

Aplicamos la fórmula para resolver la indeterminación: $$L = e^{\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^2+1}{x} \left( \frac{x+1}{x} - 1 \right) \right]}$$ Operamos dentro del corchete: $$\frac{x+1}{x} - 1 = \frac{x+1-x}{x} = \frac{1}{x}.$$ Sustituimos en el límite del exponente: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2+1}{x} \cdot \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2}.$$ Como es un límite de un cociente de polinomios del mismo grado cuando $x \to \infty$, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{1}{1} = 1.$$ Finalmente, el valor del límite original es $e$ elevado al resultado obtenido: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 1}{x} \right)^{\frac{x^2+1}{x}} = e^1 = e.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{e}$$