Conmutación de matrices y propiedades de simetría

**a) [1,5 puntos] Encuentra todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, es decir, que verifican que $AX = XA$.** Para que el producto $AX$ y $XA$ sea posible y el resultado tenga las mismas dimensiones, la matriz $X$ debe ser cuadrada de orden 2. Definimos la matriz $X$ con incógnitas: $$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ La condición de conmutación es $AX = XA$. Calculamos ambos productos matriciales por separado. 💡 **Tip:** Dos matrices $A$ y $B$ conmutan si $AB = BA$. En general, el producto de matrices no es conmutativo, por lo que esta es una propiedad restrictiva.

Calculamos el producto $AX$: $$AX = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 0c & 2b + 0d \\ 1a - 1c & 1b - 1d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $XA$: $$XA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b & 0a - b \\ 2c + d & 0c - d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b & -b \\ 2c + d & -d \end{pmatrix}$$ Igualamos ambas matrices elemento a elemento para obtener un sistema de ecuaciones: $$\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ a - c & b - d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b & -b \\ 2c + d & -d \end{pmatrix}$$ 1. $2a = 2a + b$ 2. $2b = -b$ 3. $a - c = 2c + d$ 4. $b - d = -d$

Analizamos las ecuaciones obtenidas: - De la ecuación (1) $2a = 2a + b \implies \mathbf{b = 0}$. - De la ecuación (2) $2b = -b \implies 3b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$ (coincide). - De la ecuación (4) $b - d = -d \implies b = 0$ (coincide). - De la ecuación (3) sustituimos los valores y relacionamos las variables restantes: $$a - c = 2c + d \implies a - d = 3c \implies a = 3c + d$$ Tenemos dos grados de libertad. Podemos expresar la solución en función de dos parámetros, por ejemplo $c = \lambda$ y $d = \mu$, donde $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Entonces, $a = 3\lambda + \mu$. Las matrices $X$ que conmutan con $A$ son de la forma: $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3\lambda + \mu & 0 \\ \lambda & \mu \end{pmatrix} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

**b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?** Partimos de la forma general de las matrices que conmutan con $A$ hallada en el apartado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 3\lambda + \mu & 0 \\ \lambda & \mu \end{pmatrix}$$ Para que $X$ sea una **matriz simétrica**, se debe cumplir que $X = X^T$. Esto implica que los elementos fuera de la diagonal principal deben ser iguales: $$x_{12} = x_{21} \implies 0 = \lambda$$ Si $\lambda = 0$, la matriz $X$ simplifica a: $$X = \begin{pmatrix} 3(0) + \mu & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz simétrica es aquella que es igual a su traspuesta. En matrices $2 \times 2$, basta con que los elementos de las esquinas opuestas a la diagonal sean iguales.

Ahora aplicamos la condición sobre el determinante: $|X| = 4$. Calculamos el determinante de nuestra matriz simétrica $X$: $$\det(X) = \begin{vmatrix} \mu & 0 \\ 0 & \mu \end{vmatrix} = \mu \cdot \mu - 0 \cdot 0 = \mu^2$$ Igualamos a 4: $$\mu^2 = 4 \implies \mu = \pm \sqrt{4} \implies \mu = 2 \quad \text{o} \quad \mu = -2$$ Por tanto, existen **dos matrices** que cumplen todas las condiciones: Para $\mu = 2$: $X_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ Para $\mu = -2$: $X_2 = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, existen: } X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } X = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}}$$