Probabilidad y Estadística 2022 Castilla la Mancha
Probabilidad Condicionada y Distribución Normal
8. a) En un determinado I.E.S. la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80 % mientras que si no va a clase es del 50 %. El 90 % de los alumnos va a clase.
a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?
a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?
b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 150 ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150 ml y desviación típica 5 ml.
b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?
b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?
| a | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10 | 0.5398 | 0.5438 | 0.5478 | 0.5517 | 0.5557 | 0.5596 | 0.5636 | 0.5675 | 0.5714 | 0.5753 |
| 0.20 | 0.5793 | 0.5832 | 0.5871 | 0.5910 | 0.5948 | 0.5987 | 0.6026 | 0.6064 | 0.6103 | 0.6141 |
| 0.30 | 0.6179 | 0.6217 | 0.6255 | 0.6293 | 0.6331 | 0.6368 | 0.6406 | 0.6443 | 0.6480 | 0.6517 |
| 0.40 | 0.6554 | 0.6591 | 0.6628 | 0.6664 | 0.6700 | 0.6736 | 0.6772 | 0.6808 | 0.6844 | 0.6879 |
| 0.50 | 0.6915 | 0.6950 | 0.6985 | 0.7019 | 0.7054 | 0.7088 | 0.7123 | 0.7157 | 0.7190 | 0.7224 |
| 0.60 | 0.7257 | 0.7291 | 0.7324 | 0.7357 | 0.7389 | 0.7422 | 0.7454 | 0.7486 | 0.7517 | 0.7549 |
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $C$: El alumno va a clase.
- $\bar{C}$: El alumno no va a clase.
- $A$: El alumno aprueba.
- $\bar{A}$: El alumno suspende.
Datos del enunciado:
- $P(C) = 0.90 \implies P(\bar{C}) = 1 - 0.90 = 0.10$
- $P(A|C) = 0.80 \implies P(\bar{A}|C) = 0.20$
- $P(A|\bar{C}) = 0.50 \implies P(\bar{A}|\bar{C}) = 0.50$
Representamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de aprobado
Para calcular la probabilidad de que un alumno apruebe, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(A) = P(C) \cdot P(A|C) + P(\bar{C}) \cdot P(A|\bar{C})$$
Sustituyendo los valores del árbol:
$$P(A) = 0.90 \cdot 0.80 + 0.10 \cdot 0.50 = 0.72 + 0.05 = 0.77$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un evento final sumando las probabilidades de todos los caminos que conducen a él.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A) = 0.77}$$
La probabilidad de que un alumno apruebe es del **77 %**.
Paso 3
Probabilidad de no ir a clase habiendo suspendido
**a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?**
Nos piden una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(\bar{C}|\bar{A})$:
$$P(\bar{C}|\bar{A}) = \frac{P(\bar{C} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} = \frac{P(\bar{C}) \cdot P(\bar{A}|\bar{C})}{P(\bar{A})}$$
Primero, calculamos la probabilidad de suspender, $P(\bar{A})$:
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.77 = 0.23$$
Ahora, calculamos la probabilidad condicionada:
$$P(\bar{C}|\bar{A}) = \frac{0.10 \cdot 0.50}{0.23} = \frac{0.05}{0.23} \approx 0.2174$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "ir hacia atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{C}|\bar{A}) = 0.2174}$$
La probabilidad de que no haya ido a clase habiendo suspendido es del **21.74 %**.
Paso 4
Distribución Normal: Proporción de botellas con más de 152 ml
**b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?**
Sea $X$ la variable aleatoria que representa el contenido de las botellas en ml. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu=150, \sigma=5)$$
Queremos calcular $P(X > 152)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X > 152) = P\left(Z > \frac{152 - 150}{5}\right) = P(Z > 0.4)$$
Como la tabla de la normal proporciona probabilidades para $P(Z \le a)$, aplicamos la propiedad del complementario:
$$P(Z > 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$$
Buscamos el valor en la tabla proporcionada para $0.40$:
$$P(Z \le 0.40) = 0.6554$$
Sustituimos:
$$P(X > 152) = 1 - 0.6554 = 0.3446$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X > 152) = 0.3446}$$
La proporción de botellas con más de 152 ml es del **34.46 %**.
Paso 5
Distribución Normal: Proporción entre 149 y 152 ml
**b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?**
Queremos calcular $P(149 < X < 152)$. Tipificamos ambos valores:
$$P\left(\frac{149 - 150}{5} < Z < \frac{152 - 150}{5}\right) = P(-0.2 < Z < 0.4)$$
Esta probabilidad se calcula como la diferencia:
$$P(-0.2 < Z < 0.4) = P(Z < 0.4) - P(Z < -0.2)$$
Por la simetría de la normal, $P(Z < -a) = 1 - P(Z \le a)$:
$$P(Z < -0.2) = 1 - P(Z \le 0.2)$$
Buscamos los valores en la tabla:
- Para $0.40$: $P(Z \le 0.4) = 0.6554$
- Para $0.20$: $P(Z \le 0.2) = 0.5793$
Calculamos:
$$P(Z < -0.2) = 1 - 0.5793 = 0.4207$$
$$P(-0.2 < Z < 0.4) = 0.6554 - 0.4207 = 0.2347$$
💡 **Tip:** Recuerda que para una distribución continua $P(X < a) = P(X \le a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(149 < X < 152) = 0.2347}$$
La proporción de botellas entre 149 y 152 ml es del **23.47 %**.