Álgebra 2022 Castilla la Mancha
Ecuación matricial y probabilidad binomial
7. a) [1,5 puntos] Despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial $A \cdot X + B = X$, siendo $X, A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcula $X$ para las matrices
$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}; B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$
b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60 % de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?
| n | k \\ p | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 0 | 0.6561 | 0.4096 | 0.2401 | 0.1296 | 0.0625 | 0.0256 | 0.0081 | 0.0016 | 0.0001 |
| | 1 | 0.2916 | 0.4096 | 0.4116 | 0.3456 | 0.2500 | 0.1536 | 0.0756 | 0.0256 | 0.0036 |
| | 2 | 0.0486 | 0.1536 | 0.2646 | 0.3456 | 0.3750 | 0.3456 | 0.2646 | 0.1536 | 0.0486 |
| | 3 | 0.0036 | 0.0256 | 0.0756 | 0.1536 | 0.2500 | 0.3456 | 0.4116 | 0.4096 | 0.2916 |
| | 4 | 0.0001 | 0.0016 | 0.0081 | 0.0256 | 0.0625 | 0.1296 | 0.2401 | 0.4096 | 0.6561 |
Paso 1
Despejar la matriz X de la ecuación
**a) [1,5 puntos] Despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial $A \cdot X + B = X$, siendo $X, A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcula $X$ para las matrices**
Partimos de la ecuación:
$$A \cdot X + B = X$$
Para despejar $X$, agrupamos todos los términos que contienen $X$ en un lado de la igualdad:
$$B = X - A \cdot X$$
Ahora, factorizamos $X$ por la derecha. Es muy importante recordar que en álgebra matricial no podemos simplemente restar un número a una matriz, por lo que usamos la matriz identidad $I$:
$$B = (I - A) \cdot X$$
Para aislar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $(I - A)^{-1}$, asumiendo que esta existe:
$$(I - A)^{-1} \cdot B = (I - A)^{-1} \cdot (I - A) \cdot X$$
$$X = (I - A)^{-1} \cdot B$$
💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Si sacas factor común $X$ por la derecha, debes mantenerlo a la derecha. Asimismo, al multiplicar por la inversa, debe hacerse por el mismo lado en ambos miembros.
Paso 2
Calcular la matriz (I - A)
Calculamos la matriz $C = I - A$ utilizando las matrices dadas:
$$I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
$$\boxed{I - A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$
Paso 3
Calcular la matriz inversa (I - A)⁻¹
Para hallar la inversa de $C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, primero calculamos su determinante:
$$|C| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (1)(0) = 2$$
Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos y su traspuesta:
$$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(C))^T = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$
La inversa es:
$$(I-A)^{-1} = \frac{1}{|C|} (\text{Adj}(C))^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Paso 4
Calcular el valor final de X
Sustituimos en la expresión despejada $X = (I - A)^{-1} \cdot B$:
$$X = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
$$X = \begin{pmatrix} (-1/2)(2) + (-1/2)(1) & (-1/2)(0) + (-1/2)(2) \\ (0)(2) + (-1)(1) & (0)(0) + (-1)(2) \end{pmatrix}$$
$$X = \begin{pmatrix} -1 - 1/2 & 0 - 1 \\ 0 - 1 & 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1.5 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}$$
Paso 5
Identificar el modelo de distribución
**b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60 % de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de carreras ganadas por el piloto".
Se trata de un experimento de Bernoulli (ganar o no ganar) que se repite $n=4$ veces de forma independiente, con una probabilidad de éxito $p = 0.6$ (60%).
Por tanto, $X$ sigue una **distribución binomial**:
$$X \sim B(n=4, \, p=0.6)$$
💡 **Tip:** Una distribución binomial se usa cuando tenemos un número fijo de ensayos independientes con dos resultados posibles.
Paso 6
Calcular la probabilidad usando la tabla
Se nos pide la probabilidad de que gane **al menos dos** carreras, es decir:
$$P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$$
Buscamos estos valores en la tabla proporcionada para $n=4$ y $p=0.6$:
- Para $k=2$: $P(X=2) = 0.3456$
- Para $k=3$: $P(X=3) = 0.3456$
- Para $k=4$: $P(X=4) = 0.1296$
Sumamos las probabilidades:
$$P(X \ge 2) = 0.3456 + 0.3456 + 0.1296 = 0.8208$$
También se podría resolver mediante el suceso contrario:
$$P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - [0.0256 + 0.1536] = 1 - 0.1792 = 0.8208$$
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{P(X \ge 2) = 0.8208}$$