Volumen del tetraedro y Teorema de Bolzano

**6. a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A = (a, 0, 1)$, $B = (1, 3, 0)$, $C = (0, 1, 0)$ y $D = (1, 1, 1)$, con $a \in \mathbb{R}$. Halla los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.** El volumen $V$ de un tetraedro con vértices $A, B, C$ y $D$ se calcula mediante la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Calculamos los componentes de los vectores restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = (1 - a, 3 - 0, 0 - 1) = (1 - a, 3, -1)$$ $$\vec{AC} = (0 - a, 1 - 0, 0 - 1) = (-a, 1, -1)$$ $$\vec{AD} = (1 - a, 1 - 0, 1 - 1) = (1 - a, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto mixto coincide con el determinante de la matriz formada por los tres vectores.

Calculamos el determinante formado por los vectores utilizando la regla de Sarrus: $$\text{Det} = \begin{vmatrix} 1-a & 3 & -1 \\ -a & 1 & -1 \\ 1-a & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\text{Det} = [(1-a) \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) \cdot (1-a) + (-1) \cdot (-a) \cdot 1] - [(-1) \cdot 1 \cdot (1-a) + (1-a) \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-a) \cdot 0]$$ $$\text{Det} = [0 - 3(1-a) + a] - [-(1-a) - (1-a) + 0]$$ $$\text{Det} = [-3 + 3a + a] - [-1 + a - 1 + a]$$ $$\text{Det} = (4a - 3) - (2a - 2)$$ $$\text{Det} = 4a - 3 - 2a + 2 = 2a - 1$$ 💡 **Tip:** Revisa siempre los signos al aplicar Sarrus, especialmente cuando hay parámetros como $a$.

Igualamos el volumen a 1 según el enunciado: $$V = \frac{1}{6} |2a - 1| = 1$$ $$|2a - 1| = 6$$ Esta ecuación con valor absoluto genera dos posibles casos: 1. **Caso positivo:** $$2a - 1 = 6 \implies 2a = 7 \implies a = \frac{7}{2}$$ 2. **Caso negativo:** $$2a - 1 = -6 \implies 2a = -5 \implies a = -\frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = \frac{7}{2}, \quad a = -\frac{5}{2}}$$

**b) [1 punto] Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)$ corta al eje de abscisas al menos una vez.** **Teorema de Bolzano:** Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si la función toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo (es decir, $f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. Geométricamente, esto significa que si una función continua pasa de estar por debajo del eje $X$ a estar por encima (o viceversa), obligatoriamente debe cruzar el eje en algún punto.

Para aplicar el teorema a $f(x) = \frac{2e^x - 8x - 3}{x^2 + 2}$: 1. **Continuidad:** El denominador $x^2 + 2$ es siempre mayor que cero ($x^2 + 2 \ge 2$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$), por lo que la función no tiene asíntotas verticales ni puntos de discontinuidad. Al ser cociente de funciones continuas (polinómicas y exponenciales), **$f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$**. 2. **Búsqueda de cambio de signo:** Probamos valores sencillos para encontrar un intervalo $[a, b]$ donde cambie el signo: - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{2e^0 - 8(0) - 3}{0^2 + 2} = \frac{2 - 3}{2} = -0,5 \lt 0$. - Para $x = 3$: $f(3) = \frac{2e^3 - 8(3) - 3}{3^2 + 2} = \frac{2e^3 - 24 - 3}{11} = \frac{2e^3 - 27}{11}$. Como $e \approx 2,718$, $e^3 \approx 20,08$. Entonces $2e^3 \approx 40,16$, lo cual es claramente mayor que 27. Por tanto, $f(3) \gt 0$. 💡 **Tip:** No necesitas el valor exacto de $f(3)$, basta con demostrar que es positivo para asegurar el cambio de signo respecto a $f(0)$.

Hemos comprobado que: - $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 3]$. - $f(0) = -0,5$ (negativo). - $f(3) \approx 1,197$ (positivo). Como $f(0) \cdot f(3) \lt 0$, según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $c \in (0, 3)$ tal que $f(c) = 0$. Dado que $f(c) = 0$ representa un punto de corte con el eje de abscisas, queda demostrado que la función corta a dicho eje al menos una vez. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Existe } c \in (0, 3) \text{ tal que } f(c) = 0}$$