Geometría en el espacio y Cálculo de áreas

**a) [1 punto] Sea el plano $\pi \equiv x - 3y + z = 0$ y los puntos $A = (0, 0, -1)$ y $B = (1, 1, 1)$. Obtén el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$.** Para definir un plano $\pi'$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). 1. Como $\pi'$ debe contener a los puntos $A$ y $B$, el vector $\vec{AB}$ será un vector director del plano: $$\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1 - 0, 1 - 0, 1 - (-1)) = (1, 1, 2)$$ 2. Como $\pi'$ debe ser perpendicular al plano $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (1, -3, 1)$, debe ser paralelo a nuestro plano $\pi'$. Por tanto, nos sirve como segundo vector director: $$\vec{v_2} = \vec{n_\pi} = (1, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al plano del otro (actúa como vector director).

El vector normal del plano buscado, $\vec{n_{\pi'}}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n_{\pi'}} = [ (1 \cdot 1)\vec{i} + (1 \cdot 1)\vec{k} + (2 \cdot (-3))\vec{j} ] - [ (1 \cdot 1)\vec{k} + (-3 \cdot 2)\vec{i} + (1 \cdot 1)\vec{j} ]$$ $$\vec{n_{\pi'}} = (\vec{i} - 6\vec{j} + \vec{k}) - (\vec{k} - 6\vec{i} + \vec{j})$$ $$\vec{n_{\pi'}} = (1 + 6)\vec{i} + (-6 - 1)\vec{j} + (1 - 1)\vec{k} = (7, -7, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 7 para trabajar con números más sencillos: $\vec{n_{\pi'}} = (1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar el vector normal de un plano.

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C) = (1, -1, 0)$: $$1x - 1y + 0z + D = 0 \implies x - y + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(0, 0, -1)$: $$0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano es $x - y = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y = 0}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula el área de la región delimitada por las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 5$ y $g(x) = 3 - x$.** Primero igualamos las funciones para hallar los límites de integración (puntos de intersección): $$f(x) = g(x) \implies x^2 - 4x + 5 = 3 - x$$ $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = 2$$ Los límites de integración son $x=1$ y $x=2$.

Para saber qué función va por encima en el intervalo $(1, 2)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 1.5$: - $f(1.5) = (1.5)^2 - 4(1.5) + 5 = 2.25 - 6 + 5 = 1.25$ - $g(1.5) = 3 - 1.5 = 1.5$ Como $g(1.5) \gt f(1.5)$, la función $g(x)$ está por encima. El área viene dada por: $$Area = \int_{1}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{1}^{2} [ (3 - x) - (x^2 - 4x + 5) ] \, dx$$ $$Area = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es la integral de la función superior menos la inferior en el intervalo de corte.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-x^2 + 3x - 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2}$$ Calculamos el valor en los extremos: - Para $x = 2$: $-\frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2} - 2(2) = -\frac{8}{3} + 6 - 4 = -\frac{8}{3} + 2 = \frac{-8 + 6}{3} = -\frac{2}{3}$ - Para $x = 1$: $-\frac{1^3}{3} + \frac{3(1^2)}{2} - 2(1) = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{-2 + 9 - 12}{6} = -\frac{5}{6}$ Restamos los resultados: $$Area = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{1}{6} \text{ unidades cuadradas}}$$