Recta perpendicular, intersección y simétrico respecto a un plano

**a) [1,5 puntos] Calcula la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Dada la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + z = 8$, su vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Con el punto $A(1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ Esta es la recta buscada que pasa por $A$ y es perpendicular a $\pi$. ✅ **Resultado de la recta:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}}$$

Para hallar el punto de corte $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) = 8$$ Agrupamos y resolvemos para $\lambda$: $$3\lambda + 2 = 8 \implies 3\lambda = 6 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $M$: $$x = 1 + 2 = 3$$ $$y = 2$$ $$z = 1 + 2 = 3$$ 💡 **Tip:** El punto de corte entre una recta perpendicular y un plano se denomina pie de la perpendicular. ✅ **Punto de corte:** $$\boxed{M(3, 2, 3)}$$

**b) [1 punto] Obtén el punto de la recta anterior distinto de $A$ que dista de $\pi$ igual que $A$, es decir, el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.** El punto simétrico $A'(x', y', z')$ de $A$ respecto al plano $\pi$ es un punto de la recta perpendicular $r$ tal que el punto de intersección $M$ es el **punto medio** del segmento $AA'$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{A + A'}{2}$$ De aquí podemos despejar $A'$: $$A' = 2M - A$$ 💡 **Tip:** No es necesario usar fórmulas de distancias; la propiedad del punto medio es mucho más directa si ya conocemos el punto de intersección $M$.

Sustituimos las coordenadas de $M(3, 2, 3)$ y $A(1, 0, 1)$: $$A' = 2(3, 2, 3) - (1, 0, 1)$$ $$A' = (6, 4, 6) - (1, 0, 1)$$ $$A' = (6-1, 4-0, 6-1)$$ $$A' = (5, 4, 5)$$ Podemos comprobar que $A'$ pertenece a la recta $r$ calculada en el apartado anterior, ya que para $\lambda = 4$: $x = 1 + 4 = 5$, $y = 4$, $z = 1 + 4 = 5$. ✅ **Resultado del punto simétrico:** $$\boxed{A'(5, 4, 5)}$$