Estudio de continuidad y propiedades de los determinantes

**a) [1,5 puntos] Estudia la continuidad en $\mathbb{R}$ de la función $f(x) = \frac{2e^{x^2-4} - 8x + 14}{x^2 - 2x}$.** Para estudiar la continuidad, primero determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, los puntos críticos son aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0, \quad x = 2.$$ La función es continua en su dominio, que es $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$, por ser cociente de una función exponencial y un polinomio (ambos continuos en $\mathbb{R}$). Debemos analizar qué ocurre específicamente en $x=0$ y $x=2$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $x=a$ si existe el límite $\lim_{x\to a} f(x)$ y este coincide con $f(a)$.

Calculamos el límite de la función cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{x^2-4} - 8x + 14}{x^2 - 2x}$$ Sustituimos $x=0$ en el numerador y denominador: - Numerador: $2e^{0-4} - 8(0) + 14 = 2e^{-4} + 14 \neq 0$ - Denominador: $0^2 - 2(0) = 0$ Como el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador tiende a cero, el límite es infinito: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$$ Por tanto, en $x=0$ existe una **discontinuidad de salto infinito** (o discontinuidad inevitable). ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{x=0 \text{ es un punto de discontinuidad de salto infinito}}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x \to 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{2e^{x^2-4} - 8x + 14}{x^2 - 2x}$$ Sustituimos $x=2$: - Numerador: $2e^{2^2-4} - 8(2) + 14 = 2e^0 - 16 + 14 = 2 - 16 + 14 = 0$ - Denominador: $2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Derivamos el numerador: $(2e^{x^2-4} - 8x + 14)' = 2e^{x^2-4} \cdot (2x) - 8 = 4xe^{x^2-4} - 8$. Derivamos el denominador: $(x^2 - 2x)' = 2x - 2$. Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 2} \frac{4xe^{x^2-4} - 8}{2x - 2} = \frac{4(2)e^{4-4} - 8}{2(2) - 2} = \frac{8(1) - 8}{4 - 2} = \frac{0}{2} = 0.$$ Como el límite existe y es finito, pero $f(2)$ no está definida, en $x=2$ hay una **discontinuidad evitable**. 💡 **Tip:** Si el límite es un número real, la discontinuidad es evitable; si es infinito, es de salto infinito. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{x=2 \text{ es un punto de discontinuidad evitable}}$$

Resumiendo el estudio realizado sobre la función $f(x)$: 1. La función es **continua** en $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$. 2. En **$x = 0$**, hay una discontinuidad de **salto infinito**. 3. En **$x = 2$**, hay una discontinuidad **evitable**. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}. \text{ Discontinuidad de salto infinito en } x=0 \text{ y evitable en } x=2.}$$

**b) [1 punto] Sea el determinante de valor 2, calcula el valor del determinante propuesto.** Partimos del determinante que queremos calcular: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}$$ **Paso 1:** Intercambiamos la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$). *Propiedad:* Si se intercambian dos filas de un determinante, este cambia de signo. $$D = - \begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ **Paso 2:** Sacamos el factor común $2$ de la primera fila. *Propiedad:* Si todos los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. $$D = -2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ a - 2 & b - 4 & c - 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$

**Paso 3:** A la segunda fila ($F_2$) le sumamos la tercera fila multiplicada por 2 ($F_2 \leftarrow F_2 + 2F_3$). *Propiedad:* El valor de un determinante no varía si a una fila se le suma una combinación lineal de las demás. $$D = -2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ (a - 2) + 2(1) & (b - 4) + 2(2) & (c - 6) + 2(3) \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$D = -2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ **Paso 4:** Sustituimos el valor del determinante original dado en el enunciado, que es igual a $2$. $$D = -2 \cdot (2) = -4$$ 💡 **Tip:** El objetivo siempre es manipular el determinante objetivo hasta que tenga la misma forma que el determinante conocido. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{D = -4}$$