Parámetros de una función racional e integración por partes

**2. a) [1,5 puntos] Encuentra razonadamente el valor de $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = \frac{ax + 1}{2x + b}$ tenga una discontinuidad de salto infinito en $x = 1$ y tienda a 2 cuando $x \longrightarrow +\infty$.** El enunciado nos indica que la función tiende a 2 cuando $x \to +\infty$. Esto equivale a decir que existe una asíntota horizontal en $y = 2$. Calculamos el límite de la función racional cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{2x + b} = \frac{a}{2}$$ Como este límite debe ser igual a 2: $$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$$ 💡 **Tip:** En el límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales. $$\boxed{a = 4}$$

Una función racional presenta una discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical) en aquellos puntos que anulan el denominador, siempre que no anulen simultáneamente al numerador. Para que la discontinuidad ocurra en $x = 1$, el denominador $2x + b$ debe ser cero en ese punto: $$2(1) + b = 0 \implies 2 + b = 0 \implies b = -2$$ Comprobamos que para $a=4$ y $b=-2$, el numerador no se anula en $x=1$: $$4(1) + 1 = 5 \neq 0$$ Al ser el límite de la forma $\frac{5}{0}$, se confirma la existencia de la asíntota vertical (salto infinito). 💡 **Tip:** Si el numerador también se anulara, estaríamos ante una indeterminación $0/0$, lo que podría dar lugar a una discontinuidad evitable en lugar de un salto infinito. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 4, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Resuelve la siguiente integral: $\int x \cdot \cos(2x)dx$.** Esta integral se resuelve mediante el método de **integración por partes**, ya que tenemos el producto de un polinomio por una función trigonométrica. Recordamos la fórmula: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ Elegimos las partes utilizando la regla **ALPES**: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(2x) \, dx \implies v = \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$ 💡 **Tip:** La regla ALPES ayuda a elegir $u$ siguiendo este orden: Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos. Aquí el polinomio $x$ tiene prioridad sobre el coseno.

Aplicamos la fórmula de integración por partes con los elementos definidos anteriormente: $$\int x \cos(2x) \, dx = x \cdot \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx$$ Ahora resolvemos la integral restante, que es inmediata: $$\int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) = -\frac{1}{4}\cos(2x)$$ Sustituimos en la expresión principal: $$\int x \cos(2x) \, dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \left( -\frac{1}{4}\cos(2x) \right) + C$$ Simplificamos los signos para obtener el resultado final: $$\int x \cos(2x) \, dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C}$$