Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & a + 1 \\ a & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1) - (3 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot a \cdot 2)$$ $$|A| = (0 + 2 + 3a) - (0 + 1 + 4a) = 2 + 3a - 1 - 4a = 1 - a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$) con el número de incógnitas ($n=3$).

Si $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rang}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, tenemos: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $a \neq 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Sustituimos $a=1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando si el determinante de las submatrices de orden 3 que incluyen la columna de términos constantes es cero. Tomamos la columna 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0+0+2) - (0+0+2) = 0$$ Podemos observar que en $A^*$, si sumamos la primera y segunda fila y dividimos por 2, obtenemos la tercera fila ($R_3 = \frac{R_1 + R_2}{2}$): $$(1+1)/2 = 1, \quad (2+0)/2 = 1, \quad (3+1)/2 = 2, \quad (2+0)/2 = 1$$ Como las filas son linealmente dependientes, $\text{rang}(A^*) = 2$. Al cumplirse $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 1$, si es posible.** Como hemos visto, para $a=1$ el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ x + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ser combinación lineal de las otras) y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Usamos un parámetro para $x$: Sea $\mathbf{x = \lambda}$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. De la segunda ecuación: $$x + z = 0 \implies z = -x \implies \mathbf{z = -\lambda}$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$\lambda + 2y + 3(-\lambda) = 2$$ $$\lambda + 2y - 3\lambda = 2 \implies 2y - 2\lambda = 2 \implies 2y = 2 + 2\lambda \implies \mathbf{y = 1 + \lambda}$$ 💡 **Tip:** Siempre que un sistema sea SCI de rango 2 con 3 incógnitas, la solución dependerá de un único parámetro (grados de libertad = $n - \text{rango} = 3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -\lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$