Estudio de extremos relativos e integración definida

**a) Determinar los extremos relativos de $f(x)$. (1 punto)** Para hallar los extremos relativos, primero debemos encontrar los puntos donde la derivada se anula (puntos críticos). Dada la función polinómica $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$, calculamos su derivada: $$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ candidatos a ser extremos: $$6x^2 - 18x + 12 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre 6 para simplificar: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden aparecer en puntos donde $f'(x) = 0$ (si la función es derivable en todo su dominio, como es este caso al ser un polinomio).

Para clasificar los puntos críticos, estudiamos el signo de la derivada segunda $f''(x)$ o analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces. Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = 12x - 18$$ Evaluamos en los puntos críticos: 1. Para $x = 1$: $$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \lt 0 \implies \text{Existe un Máximo Relativo en } x = 1.$$ 2. Para $x = 2$: $$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 \gt 0 \implies \text{Existe un Mínimo Relativo en } x = 2.$$ Calculamos las ordenadas de estos puntos: - $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) = 2 - 9 + 12 = 5$ - $f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) = 16 - 36 + 24 = 4$ **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (1, 5) \text{ y Mínimo relativo en } (2, 4)}$$

**b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, las rectas verticales que pasan por los puntos $(1,0)$ y $(2,0)$ y el eje $OX$. (1,5 puntos)** El enunciado nos pide el área entre $x = 1$ y $x = 2$. Debemos comprobar si la función corta al eje $OX$ en ese intervalo resolviendo $f(x) = 0$: $$2x^3 - 9x^2 + 12x = 0 \implies x(2x^2 - 9x + 12) = 0$$ Una raíz es $x = 0$. Para el paréntesis, el discriminante es $\Delta = (-9)^2 - 4(2)(12) = 81 - 96 = -15 \lt 0$, por lo que no hay más raíces reales. Como en el intervalo $[1, 2]$ la función es continua y no tiene raíces, y sabiendo que $f(1)=5 \gt 0$, la función es siempre positiva en este recinto. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{2} (2x^3 - 9x^2 + 12x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, deberíamos dividir la integral en varios trozos usando el valor absoluto para asegurar que el área siempre sume en positivo.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (2x^3 - 9x^2 + 12x) \, dx = \frac{2x^4}{4} - \frac{9x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} = \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 6x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites 1 y 2: $$A = \left[ \frac{x^4}{2} - 3x^3 + 6x^2 \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = \frac{2^4}{2} - 3(2^3) + 6(2^2) = \frac{16}{2} - 3(8) + 6(4) = 8 - 24 + 24 = 8$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = \frac{1^4}{2} - 3(1^3) + 6(1^2) = \frac{1}{2} - 3 + 6 = 0.5 + 3 = 3.5 = \frac{7}{2}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(1) = 8 - 3.5 = 4.5$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 4.5 \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar las unidades de superficie como $\text{u}^2$ al calcular áreas.