Continuidad y límites con radicales

**a) ¿Es continua en el punto $x = 0$ la función $f(x) = \begin{cases} \frac{e^x-1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ ? (1 punto)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(a)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$: $\lim_{x \to a} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En nuestro caso, para $x = 0$: - La imagen de la función es: $$f(0) = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones a trozos, el valor de $f(a)$ se mira en la rama que contiene el signo $=$ en la condición.

Calculamos el límite de la función cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$$ Al evaluar el límite, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^0-1}{0} = \frac{1-1}{0} = \left[\frac{0}{0}\right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x-1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1}$$ Evaluamos de nuevo: $$\lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones de tipo $0/0$ o $\infty/\infty$. Recuerda poner el símbolo de límite en cada paso hasta el final.

Comparamos el valor del límite con el valor de la función en el punto: - $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ - $f(0) = 1$ Como $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$, podemos afirmar que la función es continua en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2-x} - \sqrt{3x-4}}{x-2}$ (1,5 puntos)** Evaluamos el límite cuando $x \to +\infty$. Observamos que el numerador tiende a $\infty - \infty$ y el denominador a $\infty$, lo que genera una indeterminación global de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2-x} - \sqrt{3x-4}}{x-2} = \left[\frac{\infty - \infty}{\infty}\right]$$ Para resolver límites de funciones racionales con raíces al infinito, dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ del denominador, que en este caso es $x^1$.

Dividimos numerador y denominador por $x$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x^2-x} - \sqrt{3x-4}}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x^2-x}}{x} - \frac{\sqrt{3x-4}}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$$ Introducimos la $x$ dentro de las raíces como $x^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{x^2-x}{x^2}} - \sqrt{\frac{3x-4}{x^2}}}{1 - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}}}{1 - \frac{2}{x}}$$ Ahora aplicamos el límite sabiendo que cualquier número dividido por $\infty$ tiende a $0$: $$\frac{\sqrt{1 - 0} - \sqrt{0 - 0}}{1 - 0} = \frac{1 - 0}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** En el límite al infinito de una resta de raíces del mismo grado, si los términos de mayor grado no se anulan entre sí (como aquí $x$ frente a $\sqrt{x}$), el término dominante manda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2-x} - \sqrt{3x-4}}{x-2} = 1}$$