Plano de simetría y área de un triángulo

**a) Hallar el plano $\pi$ respecto del cual los puntos $A = (0,1,2)$ y $B = (2,1,0)$ son simétricos. (1,5 puntos)** Para que dos puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano debe ser el **plano mediador** del segmento $AB$. Esto implica dos condiciones: 1. El vector director $\vec{AB}$ debe ser perpendicular al plano $\pi$ (será su vector normal). 2. El plano debe pasar por el punto medio $M$ del segmento $AB$. Calculamos primero el vector normal $\vec{n_\pi}$ a partir de los puntos $A$ y $B$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 1 - 1, 0 - 2) = (2, 0, -2)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 2 para facilitar los cálculos: $$\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dado por los coeficientes $(A, B, C)$.

Calculamos el punto medio $M$ del segmento $AB$, que es el punto por donde debe pasar el plano: $$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = (1, 1, 1)$$ $$\boxed{M = (1, 1, 1)}$$

Con el vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$ y el punto $M(1, 1, 1)$, escribimos la ecuación general del plano $1 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z + D = 0$: $$x - z + D = 0$$ Sustituimos el punto $M$ para hallar $D$: $$1 - 1 + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x - z = 0}$$

**b) Calcular el área del triángulo de vértices $A, B$ y el punto $C = (2,1,2)$.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A, B$ y $C$ se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya conocemos $\vec{AB} = (2, 0, -2)$. Calculamos ahora $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 1 - 1, 2 - 2) = (2, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** El área de un paralelogramo definido por dos vectores es el módulo de su producto vectorial. El triángulo es exactamente la mitad.

Realizamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{i} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(0) - \vec{j}(0 - (-4)) + \vec{k}(0) = (0, -4, 0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, -4, 0)$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ unidades}^2}$$