Ecuaciones matriciales e inversa de una suma

**a) Encontrar una matriz $A$ tal que $MA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. (1,5 puntos)** Sea una matriz genérica $A$ de orden $2 \times 2$ definida por sus elementos: $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ Para que $MA = \mathbf{0}$, realizamos el producto de la matriz $M$ por $A$ e igualamos cada término a cero: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicando fila por columna obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{pmatrix} a - 2c & b - 2d \\ -2a + 4c & -2b + 4d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Esto se traduce en dos sistemas independientes (uno para cada columna de $A$): 1) $\begin{cases} a - 2c = 0 \\ -2a + 4c = 0 \end{cases}$ 2) $\begin{cases} b - 2d = 0 \\ -2b + 4d = 0 \end{cases}$ 💡 **Tip:** El producto de matrices $A \cdot B$ solo es posible si el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$.

Analizamos el primer sistema: De $a - 2c = 0$ obtenemos $a = 2c$. Al sustituir en la segunda ecuación, $-2(2c) + 4c = 0 \implies 0 = 0$, vemos que es un sistema compatible indeterminado. Por tanto, basta con elegir cualquier valor para $c$ (que no sea cero para que $A$ no sea la matriz nula, aunque esta también sería una solución válida). Si elegimos $c = 1$, entonces $a = 2$. Analizamos el segundo sistema: De $b - 2d = 0$ obtenemos $b = 2d$. Ocurre lo mismo; la segunda ecuación es redundante. Si elegimos $d = 0$, entonces $b = 0$. Con estos valores, una posible matriz $A$ es: $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$ *(Nota: Existen infinitas soluciones dependiendo de los valores elegidos para $c$ y $d$, por ejemplo $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ también es correcta).*

**b) Calcular, en caso de que exista, la matriz inversa de $M + N$. (1 punto)** Primero calculamos la matriz resultante de la suma $M + N$: $$M + N = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 & -2 + 0 \\ -2 + 0 & 4 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ Para comprobar si existe la matriz inversa, calculamos su determinante: $$|M + N| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) - (-2 \cdot -2) = 5 - 4 = 1$$ Como $|M + N| = 1 \neq 0$, la matriz **es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada $X$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|X| \neq 0$).

Para calcular $(M+N)^{-1}$ utilizamos la fórmula de la adjunta: $$(M+N)^{-1} = \frac{1}{|M+N|} \cdot [\text{Adj}(M+N)]^t$$ Calculamos los adjuntos de la matriz $S = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$: - $A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 5 = 5$ - $A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (-2) = 2$ - $A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot (-2) = 2$ - $A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 1 = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(M+N) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Su traspuesta es la misma: $$[\text{Adj}(M+N)]^t = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como el determinante es $1$, la inversa es: $$(M+N)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(M+N)^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$