Área entre curvas y límites con valor absoluto

**a) Calcular el área de la región del plano comprendida entre la curva $f(x) = 4x^2$ y la recta $y = 4$. (1,5 puntos)** Para calcular el área encerrada entre dos funciones, lo primero es hallar los puntos donde estas se cortan. Igualamos ambas expresiones: $$4x^2 = 4$$ Dividimos por $4$: $$x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1}$$ Por lo tanto, los puntos de corte son **$x = -1$** y **$x = 1$**. Estos valores serán los límites de integración. 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a,b]$ se calcula mediante la integral definida $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$.

Observamos cuál de las dos funciones está por encima de la otra en el intervalo $(-1, 1)$. Si tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 4(0)^2 = 0$ - $y = 4$ Como $4 \gt 0$, la recta $y = 4$ es la función superior. El área se define como: $$A = \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función es simétrica respecto al eje $Y$ (función par), podemos simplificar el cálculo como $A = 2 \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) \, dx$. En este caso lo haremos directamente sobre el intervalo completo.

Calculamos la integral definida paso a paso: $$A = \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{1}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left( 4(1) - \frac{4(1)^3}{3} \right) - \left( 4(-1) - \frac{4(-1)^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 4 - \frac{4}{3} \right) - \left( -4 + \frac{4}{3} \right)$$ $$A = \left( \frac{12-4}{3} \right) - \left( \frac{-12+4}{3} \right)$$ $$A = \frac{8}{3} - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{16}{3} \text{ u}^2 \approx 5,33 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=4x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=4", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "4x^2 \\le y \\le 4 \\left\\{-1 \\le x \\le 1\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**b) Calcular, si es posible, $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{\text{sen } x}$. (1 punto)** Al evaluar directamente el límite en $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{\text{sen } x} = \frac{|0|}{\text{sen } 0} = \frac{0}{0}$$ Dado que aparece un valor absoluto $|x|$, la función se comporta de forma distinta a la izquierda y a la derecha de cero: $$|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Debemos estudiar los **límites laterales**. 💡 **Tip:** Para que un límite exista, los límites laterales deben ser iguales y finitos.

Calculamos el límite por la derecha ($x \to 0^+$), donde $|x| = x$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\text{sen } x} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{(x)'}{(\text{sen } x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$$ Calculamos el límite por la izquierda ($x \to 0^-$), donde $|x| = -x$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{\text{sen } x} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{(-x)'}{(\text{sen } x)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{\cos x} = \frac{-1}{\cos 0} = \frac{-1}{1} = -1$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe.

Comparamos los resultados de los límites laterales: - Por la derecha: $L^+ = 1$ - Por la izquierda: $L^- = -1$ Como $L^+ \neq L^-$, los límites laterales no coinciden. ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{\text{No existe el límite } \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{\text{sen } x}}$$