Teorema de Bolzano y extremos en un intervalo cerrado

**a) Demostrar que tiene una raíz en el intervalo $(1,3)$. (1 punto)** Para demostrar la existencia de una raíz en un intervalo abierto $(a, b)$, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. Recordemos que si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en sus extremos ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. En este caso: 1. La función $f(x) = e^x - x - 3$ es continua en todo $\mathbb{R}$, ya que es la suma/resta de una función exponencial ($e^x$) y un polinomio ($-x-3$), ambos continuos. Por tanto, es continua en el intervalo $[1, 3]$. 2. Evaluamos la función en los extremos del intervalo: - Para $x = 1$: $f(1) = e^1 - 1 - 3 = e - 4 \approx 2.718 - 4 = -1.282 \lt 0$. - Para $x = 3$: $f(3) = e^3 - 3 - 3 = e^3 - 6 \approx 20.086 - 6 = 14.086 \gt 0$. 💡 **Tip:** El número $e$ es aproximadamente $2.718$, lo cual es suficiente para deducir que $e-4$ es negativo y $e^3$ es mucho mayor que $6$.

Como $f(x)$ es continua en $[1, 3]$ y los signos de $f(1)$ y $f(3)$ son distintos: $$f(1) = e-4 \lt 0$$ $$f(3) = e^3-6 \gt 0$$ Según el Teorema de Bolzano, existe al menos un valor $c \in (1, 3)$ tal que $f(c) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se demuestra que existe una raíz en } (1,3)}$$

**b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. Encontrar su máximo y su mínimo absolutos en el intervalo $[1,3]$. (1,5 puntos)** Para determinar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = (e^x - x - 3)' = e^x - 1$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real para determinar los intervalos de monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - Si $x \lt 0$, $e^x \lt 1$, por lo que $f'(x) \lt 0$ (la función decrece). - Si $x \gt 0$, $e^x \gt 1$, por lo que $f'(x) \gt 0$ (la función crece). 💡 **Tip:** Recuerda que la función $e^x$ es siempre positiva y estrictamente creciente. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 0) \text{ y Creciente en } (0, +\infty)}$$

Para encontrar los extremos absolutos en el intervalo cerrado $[1, 3]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo y en cualquier punto crítico que pertenezca a dicho intervalo. En este caso, el único punto crítico es $x = 0$, que **no pertenece** al intervalo $[1, 3]$. Como hemos visto que la función es creciente para $x \gt 0$, en el intervalo $[1, 3]$ la función será **estrictamente creciente**. Por lo tanto, el mínimo absoluto estará en el extremo izquierdo y el máximo absoluto en el extremo derecho. 1. **Mínimo absoluto:** $$x = 1 \implies f(1) = e - 4 \approx -1.282$$ 2. **Máximo absoluto:** $$x = 3 \implies f(3) = e^3 - 6 \approx 14.086$$ ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Mín. Absoluto en } (1, e-4) \quad \text{Máx. Absoluto en } (3, e^3-6)}$$